Аксиоматика рациональных чисел

Конструктивное определение рациональных чисел Q дано в схеме 2 предыдущего пункта. Приведем аксиоматическое определение. Оно содержит тот минимум правил, который обеспечил построение множества Q в предыдущем пункте.

 

Определение 1

Множество Q называется множеством рациональных чисел, а его элементы – рациональными числами, если выполняется следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой рациональных чисел:

Аксиомы операции сложения

Для всякой упорядоченной пары х,у элементов из Q определен некоторый элемент х+у Î Q , называемый суммой х и у. При этом выполняются следующие условия:

1. (Существование нуля) Существует элемент 0 (нуль) такой, что для любого х Î Q

х +0=0+ х = х.

2. Для любого элемента х Î Q существует элемент – х Î Q (противоположный х) такой, что

х + (–х) = (–х) + х = 0.

3. (Коммутативность) Для любых х,у Î Q

х + у = у + х.

4. (Ассоциативность) Для любых х,у,zÎ Q

х + (у + z) = (х + у) + z.

Аксиомы операции умножения

Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент ху Î Q, называемый произведением х и у. При этом выполняются следующие условия:

5. (Существование единичного элемента) Существует элемент 1 Î Q такой, что для любого х Î Q

х ^. 1 = 1 ^. х = х.

6. Для любого элемента х Î Q, (х 0) существует обратный элемент х ^–1 0 такой же, что

х^.х ^–1 = х^–1. х = 1.

7. (Ассоциативность) Для любых х, у,z Î Q

х ^. (у ^. z) = (х ^. у) ^. z.

8. (Коммутативность) Для любых х, у Î Q

х^. у = у^. x.

Аксиома связи сложения и умножения

9. (Дистрибутивность) Для любых х, у, z Î Q

(х+у) ^. z = x ^. z+у ^. z.

Аксиомы порядка

Всякие два элемента х, у, Î Q вступают в отношение сравнения . При этом выполняются следующие условия:

10. (х у)L (у x) x=у.

11. (х у) L ( у z) x z.

12. Для любых х, у Î Q либо х < у, либо у < x.

Отношение < называется строгим неравенством,

Отношение = называется равенством элементов из Q.

Аксиома связи сложения и порядка

13. Для любых x, y, z Î Q, (x £ y) Þ x + z £ y + z.

Аксиома связи умножения и порядка

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x ´ y).

Аксиома непрерывности Архимеда

15. Для любых a > b > 0 существует m Î N и n Î Q такие, что m ³ 1, n < b и a = mb + n.

Следствие

Аксиомы множества Q позволяют:

I. Построить систематическую запись рациональных чисел при помощи конечного алфавита (цифровых символов).

II. Определить алгоритмы реализации операций ±, ´,:, £ в систематической записи рациональных чисел.

1.4. Задачи, приводящие к расширению
множества рациональных чисел

Решение задач, имеющих практический интерес, не исчерпывается арифметическими операциями над числами. Рассмотрим следующие две задачи.

Задача 1

Измерить длину диагонали квадрата, считая, что единица длины есть сторона этого квадрата.

Теорема Пифагора дает результат: искомая длина равна . Предположение о том, что = p / q – рациональное число опровергается известным доказательством от противного. Предположим, что = k / q Þ p = 2 q Þ p =2 k Þ 2 q = 4 k Þ q = 2 m Þ = – сократимая дробь, что противоречит несократимости дроби = p / q.

Заметим, что величина является решением уравнения x –2=0. Действительные рациональные числа, являющиеся решениями алгебраических уравнений

x + a x + … + a x + a = 0 (10)

с целочисленными коэффициентами a Î Z, k =1, …, n, называются алгебраическими числами. Таким образом, число является алгебраическим числом и результатом алгебраической операции – извлечения корня.

Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) доказал (см., например, ([4, с. 63])), что алгебраические числа являются либо целыми числами, либо не представимы в виде p / q ни для каких целых p, q Î Z.

Задача 2

Измерить длину окружности, считая, что диаметр этой окружности есть единица длины.

Длина окружности L = 2p R, где R – радиус. В нашем случае L =3,1415…. Число p не является ни рациональным, ни алгебраическим, [4]. То, что число p не является рациональным числом, впервые было установлено в 1761 г. французским математиком Иоганном Генрихом Ламбертом (1728 – 1777).

Подчеркнем, что число p не является результатом применения алгебраических операций. Оно может быть выражено согласно алгоритму Ф. Гаусса ([5, с. 41]), который представляет последовательность некоторых простых операций, пронумерованных числами натурального ряда.

Вывод 3

Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, q.

Числа, не представимые в виде p/q ни для каких целых p, q, называются иррациональными.