Оглавление
Введение............................................................................................................................................. 5
ГЛАВА I........................................................................................................................................... 10
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ......................................................................................... 10
§ 1. О понятии действительных чисел................................................................................. 10
1.1. Формализм натуральных чисел.................................................................................. 10
1.2. Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел...... 12
1.3. Аксиоматика рациональных чисел............................................................................ 14
1.4. Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел................. 16
1.5. Аксиоматизация множества действительных чисел................................................ 17
1.6. О представлении действительных чисел.................................................................. 18
§ 2. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии............................................. 18
2.1. О “Началах” Евклида.................................................................................................. 18
2.2. Аксиоматика Д. Гильберта(1862–1943)..................................................................... 20
2.3. Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта............................................................... 26
§ 3. Структура векторного пространства............................................................................ 27
3.1. Модель направленных отрезков................................................................................. 27
3.2. Арифметическая модель векторного пространства................................................. 29
3.3. Абстрактное векторное пространство....................................................................... 31
3.4. Аксиомы скалярного произведения векторов.......................................................... 32
§ 4. Модель Вейля евклидовой геометрии.......................................................................... 34
4.1. Арифметизация трехмерного евклидова пространства........................................... 34
4.2. Многомерное арифметическое евклидово пространство........................................ 36
§ 5. Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского............................................................ 37
5.1. Основные понятия модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского....................... 37
5.2. Основные факты в планиметрии Лобачевского...................................................... 40
5.3. О роли открытия неевклидовой геометрии.............................................................. 42
ГЛАВА II.......................................................................................................................................... 43
СВОЙСТВА АКСИОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ........................................................................ 43
§ 6. Математические структуры и аксиоматические теории............................................. 43
6.1. Понятие отношений между объектами..................................................................... 43
6.2. Понятие математической структуры......................................................................... 44
6.3. Модель или реализация системы аксиом................................................................. 46
6.4. Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры...................... 46
6.5. Изоморфизм.................................................................................................................. 48
§ 7. Требования, предъявляемые к системам аксиом........................................................ 50
7.1. Непротиворечивость системы аксиом....................................................................... 50
7.2. Независимость аксиоматической системы............................................................... 51
7.3. Независимость аксиомы параллельности................................................................. 52
7.4. Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом....................................... 52
7.5. Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.... 53
§ 8. Анализ текстовых парадоксов....................................................................................... 54
8.1. Языковые свойства имен объектов............................................................................ 54
8.2. Проблема выразимости............................................................................................... 55
8.3. Понятие искусственного языка................................................................................ 55
8.4. Понятие парадокса....................................................................................................... 56
8.5. “Ахиллес и черепаха”.................................................................................................. 56
8.6. Парадокс пустого множества..................................................................................... 57
8.7. Парадокс достижимости в натуральном ряде........................................................... 57
8.8. “Одно и то же, но по–разному”.................................................................................. 58
Заключение....................................................................................................................................... 59
Обозначения..................................................................................................................................... 62
ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................................................. 63
Введение
Развитие информационных систем и компьютерных технологий открыло новые возможности в исследовании человеческого интеллекта. Цель такого исследования состоит в моделировании интеллекта и, в конечном счёте, автоматизации ряда процессов интеллектуальной деятельности.
Интеллект является процессом и продуктом мышления и отражает отношения объектов различной природы в виде мыслительных образов. Эти образы составляют субъективный информационный мир личности, а обмен информацией между людьми осуществляется посредством различных языковых систем. Знаковые или символьные языковые системы позволяют каждому индивидууму реализовать мысленную систему образов в виде языковых единиц – слов и их структурных образований – текстов.
Различают следующие три основные функции языка:
отслеживание мысли (опорная функция);
формирование умозаключений (логическая функция);
средство общения (коммуникационная функция).
Такую роль языку отводил великий математик Леонард Эйлер (1707 – 1763). Он писал: “Язык нужен людям, чтобы они могли следить за своими мыслями и развивать их, а также общаться друг с другом”, ([1, с.282]).
Опорную функцию языка впервые систематически исследовал известный логик конца XIX в. Готлоб Фреге (1848 – 1925). Вот его слова: “Нам удаётся управлять нашим вниманием и направлять мысль в желательное для нас русло благодаря знакам. Когда мы воспроизводим знак, то мы тем самым создаём определённую опору нашей мысли, – определённый центр, вокруг которого возникают различные представления. Из этих представлений мы выбираем одно и опять фиксируем его с помощью знака. Так удаётся шаг за шагом проникнуть во внутренний мир наших представлений и двигаться в этом мире в нужном направлении. Чувственно–наглядное (в форме знаков) позволяет нам не потонуть в потоке восприятий и представлений, непрерывно захлёстывающих наше внимание”
Можно считать, что Фреге открыл акт и цикл процесса организации мыслительных образов в слова и тексты. Представим этот акт в виде схемы 0.
Тогда текст является итерацией, т.е. последовательной композицией таких актов.
Прежде чем сформулировать цели и задачи нашего пособия, приведём языковые понятия, при помощи которых формируется понятие текста.
| Ф.1 | Определение символьного или знакового языка |
| Знаковая или символьная система, используемая для такой организации структуры мыслительных образов, которая представляет информацию, называется символьным или знаковым языком |
Пример 1
Система дискретных звуковых знаков есть общепринятое понятие человеческого языка, являющегося средством общения.
Пример 2
Система последовательностей двух символов 0 и 1 представляет язык числовых кодов: 110001, 100100100 и т.д.
Пример 3
Система знаков, представляющих музыкальные звуки, называется нотами.
| Ф.2 | Нотные знаки гаммы целых звуков одной октавы |
|
Языковой способ коммуникации, то есть передачи информации, основан на композиции знаковых единиц – потоке слов, организованных в предложения – тексты.
| Ф.3 | Определение формального слова |
| Языковую знаковую или символьную единицу, представляющую мыслительный образ, назовём формальным словом |
| Ф.4 | Определение формального предложения |
| Упорядоченное множество формальных слов, несущее в себе информацию законченного характера, назовём формальным предложением |
| Ф.5 | Определение формального текста |
| Последовательность формальных предложений, синтезирующую информационный поток, назовём формальным текстом |
Тексты, организованные в самостоятельные блоки, как это сделано выше, назовём файлами.
| Ф.6 | Определение файла |
| Текст |
Файлы несут свой мыслительный образ, и поэтому их можно использовать для организации более сложных, нелинейных текстовых структур: каталогов, диаграмм, блок–схем и т.д. Пример – Схема 1, приведённая ниже. Ещё пример – синтезирование понятия символьного языка в виде блок–схемы:
 |
Схема 1
Каждый предмет (литература, математика, экономика и т. д.) имеет свой язык. Разные модели одного предмета имеют разные языки, например:
· литературное произведение на русском и английском языках;
1. геометрический и координатный языки в математических моделях;
1. геометрическая и аналитическая теория интеграла и т. д.
Каждый из этих предметов и моделей является реализацией процесса мышления в виде языковой модели–текста. Поэтому текст можно считать основным продуктом интеллектуальной деятельности. Следовательно, исследование интеллектуального уровня и интеллектуальных функций – это исследование языковых продуктов.
Вывод
Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
Вопрос
Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
Ответ на этот вопрос не возможен без анализа современного научного направления, синтезированного исследованиями психологии, лингвистики, математики, физики информационных процессов и др. Остановимся кратко на избранных достижениях исследований языковых текстов.
В первой половине XX столетия исследования Эсту, Кондона и Ципфа завершились открытием статистического рангового распределения элементов словаря.
В чём суть этого открытия? Известно, что одни слова как знаковые единицы употребляются чаще, чем другие. Упорядочим их так: в качестве номера слова возьмём частоту n вхождения этого слова в тексты. Эту частоту назовём рангом, так что самое частое слово имеет ранг 1, второе по частоте слово имеет ранг 2 и т. д. Пусть Pn обозначает случайную частоту появления в тексте слова с рангом n. Тогда существует статистическое распределение, выражающее функциональную зависимость частоты Pn от ранга n. Бенуа Мандельброт объявил ранговое распределение законом языка. Этот закон представляется аналитической зависимостью [2], [12]:
P 
= k/( b +n) 
,
где «гамма» приблизительно равна 1, постоянные величины k и b выражаются через частоту вхождения самого частого слова и длину текста.
Компьютерная обработка текстов показала, что закон Мандельброта не выражает математического ожидания, к которому, по вероятности, сходятся ранговые распределения слов длинных текстов. То есть не выполняется статистический закон больших чисел. Более того, на разных текстовых выборках слова не сохраняют вероятности вхождения. Таким образом, гипотеза Мандельброта о законе языка в форме рангового распределения не подтвердилась.
В 70–х гг. советский кибернетик Ю. Орлов предположил, что закон Мандельброта справедлив для завершённых текстов [2]. Тем самым поставлена задача исследования закономерностей целостного восприятия текстов различной природы: художественных, музыкальных, специализированных. Фактически, это подводит нас к проблеме моделирования смысловых отношений в знаковых системах, представляющих тексты.
В историческом плане работа в этом направлении только начинается. Впереди – открытия, которые помогут нам осознать закономерности функционирования интеллектуальных систем посредством изучения текстовых структур – основного интеллектуального продукта. Современное состояние исследований в этом направлении можно отражено в трудах научных конференций (см., например [2], [3], [12], а также указанную там библиографию).
Данное учебное пособие выполняет скромные функции семестрового курса математики, читаемого автором на гуманитарном факультете НГТУ. Целью курса является ознакомление студентов с идеями и методами математического формализма, т. е. математического языка. Автор считает, что математические тексты и структуры в определённом смысле являются образцами, представляющими простейшие интеллектуальные продукты. Насколько значительна роль математических стереотипов в исследовании общих текстовых структур, автору неизвестно. Очевидно лишь то, что рождение новых информационных технологий и автоматизация интеллектуального труда требует ревизии многих сложившихся формализаций в науке, и соответствующие исследования лежат в пересечении гуманитарных и точных наук.
Мы будем знакомиться с математикой как с искусственным языком и рассматривать ее в качестве интеллектуального ремесла. Поэтому главная наша задача состоит в том, чтобы понять назначение этого ремесла. Мы считаем, что смысл математического языка заключается в знаковой формализации канонических образов, которыми оперирует интеллект в различных информационных областях. Под знаковой формализацией образов мы понимаем направленное или волевое действие трех функций языка:
присваивание мыслительному образу знака (действие опорной функции);
оперирование образами как знаками (действие логической функции);
реализация мысли в виде системы знаков (коммуникационная функция).
В указанном языковом смысле математику следует считать искусственной составляющей естественного интеллекта, развиваемой самим интеллектом для оптимизации своей деятельности.
Будем, например, считать одной из целей развития информационных технологий автоматизацию интеллектуального труда. Тогда мы с необходимостью признаем, что возможность компьютерного оперирования «образами» связано с преобразованием образов человеческих мыслей на язык отношений в определенных математических структурах. Поэтому для начала необходимо ответить на следующие вопросы:
Как возникают математические структуры и что это такое?
Как устроены такие структуры и как они функционируют?
Изучению этих вопросов мы посвящаем первую и вторую главы, названные нами, соответственно, «Математический формализм» и «Свойства аксиоматических систем».
Господь Бог создал натуральные числа; все остальное дело рук человеческих.
Леопольд Кронекер (1823–1891)
ГЛАВА I
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
