Для функции y=f(x) заданной в равноотстоящих узлах центральные разности определяются соотношением
; 
; 
, (6.10)
которое с учётом нисходящих и восходящих разностей имеет вид
Dy-n, Dy-n+1,…, Dy-2, Dy-1, Dy0 ,, Dy1,y2,…,yk-1,yn (4.11)
Узлы интерполирования в этом случае размещены симметрично относительно x0, а их значения
, 
±n.
Значение f(x) в точке xi<x<xi+1, не совпадающей с узлом интерполирования, может быть определено с помощью полинома Стирлинга
, (6.12)
где t=(x-x0)/h, 
- центральные разности.
Погрешность формулы Стирлинга
. (6.13)
Формулу (6.12) используют для интерполирования в середине интервала [a,b], около конца и начала его (в последнем случае (6.12) даёт более точный результат). Центральную точку x0 выбирают так, чтобы –0,5 £t£ 0,5.
Знание центральных разностей позволяет использовать при интерполяции полином Бесселя
Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
Для произвольно заданных узлов интерполяции можно воспользоваться формулой Лагранжа или многочленом Ньютона. Интерполяционный полином Лагранжа имеет формулу
(6.14)
или в развёрнутом плане
(6.15)
Погрешность при вычислении определяется выражением
, (6.16)
где 
; i= 0,1,2,..., n; формула (6.15) имеет большую точность для средних отрезков 
, она менее эффективна для крайних отрезков. Значения независимой переменной в формуле могут быть как равно-, так и не равноотстоящими.
Примеры
№1 Найти значение интерполирующего полинома для функции y=ex заданной таблицей.
| х | 3,50 | 3,55 | 3,60 | 3,65 | 3,70 |
| у | 33,115 | 34,813 | 36,598 | 38,475 | 40,447 |
на интервале [3,5; 3,6] с шагом =0,05.
Решение. Составим таблицу с нисходящими конечными разностями для заданных точек функции y=ex
| х | у | Δу | Δ2 у | Δ3 у |
| 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 | 33,115 34,813 36,598 38,475 40,447 |
Отмечаем, что значения конечных разностей третьего порядка примерно одинаковы, а это значит, что нужно использовать полином Pn(x) степени n=3. Для х0=3,50 и у0=33,115, мы имеем отыскиваемый полином в виде.
или с учетом значений
№2 Необходимо найти значение функции y(x) для x1=1,2173 по данным таблицы.
| x | y |
| 1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 1.255 1.260 | 0.106044 0.106491 0.106935 0.107377 0.107818 0.108257 0.108696 0.109134 0.109571 0.110008 |
Найдем для этого случая нисходящие конечные разности.
| i | xi | yi | Δуi | Δ2 уi |
| 1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 1.255 1.260 | 0.106044 0.106491 0.106935 0.107377 0.107818 0.108257 0.108696 0.109134 0.109571 0.110008 | 0.000447 0.000444 0.000442 0.000441 0.000439 0.000439 0.000438 0.000437 0.000437 - | -0.000003 -0.000002 -0.000001 -0.000002 -0.000001 -0.000001 - - |
Отметим, что, начиная со второго порядка, конечные разности примерно одинаковы. Следовательно, воспользуемся полиномом Ньютона второго порядка, для x=1,2173.
№3 Пусть yx функция заданная таблицей с неравноотстоящими значениями аргумента.
| x | y |
| 0,103 0,108 0,115 0,120 0,128 0,136 0,141 0,150 | 2,01284 2,03342 2,06070 2,07918 2,10721 2,13354 2,14922 2,17609 |
Нужно вычислить значение функции для x1=0,112.
Воспользуемся формулой Лагранжа
где используются разделенные разности.
Составим таблицу этих разностей.
| xi | yi | f(xi,xi+1) | f(xi,xi+1,xi+2) |
| 0,103 0,108 0,115 0,120 0,128 0,136 0,141 | 2,01284 2,03342 2,06070 2,07918 2,10721 2,13354 2,14922 | 4,116 3,896142 3,696 3,503750 3,291250 3,136 - | -18,238166 -16,761833 -14,788461 -13,281250 -11,942307 - - |
Затем определяем f(0,112) двумя методами, для x0 равным соответственно 0,103 и 0,108:
В результате имеем f(0,112) ≈ 2,04922.
№4 Оттискать эмпирическую формулу для функции yx заданной таблично.
| X | ||||||
| y | 5.2 | 8.0 | 10.4 | 12.4 | 14.0 | 15.2 |
Вычислим нисходящие конечные разности второго порядка
| x | y | Δy | Δ2 y |
| 5.2 8.0 10.4 12.4 14.0 15.2 | 2.8 2.4 2.0 1.6 1.2 | -0.4 -0.4 -0.4 -0.4 |
из таблицы видим, что 
, а это значит необходим полином Ньютона второй степени. Запишем его в виде
y = 5,2 + 2,8x – 
x(x – 1)
в итоге имеем
y = 5,2 + 3x – 0,2x2.
№5 Пусть yx заданнасвоими значенияи в нижеприведенной таблице. Необходимо вычислить значение yx для аргумента x=0,304, используя полиномы Ньютона первого и второго порядков.
| x | y |
| 0,29 | 3,25 |
| 0,30 | 3,17 |
| 0,31 | 3,12 |
| 0,32 | 3,04 |
| 0,33 | 2,98 |
| 0,34 | 2,91 |
Полином Ньютона первого порядка
y(0,304) = y0 + q∙Δy0;
h(x) = x1- x0 = 0,31-0,30 = 0,01.
Δy0 = y1- y0 = 3,12 - 3,17 = -0,05.
y(0,304) = 3,17 + 0,4 ∙ (-0,05);
y(0,304) = 3,15.
Полином Ньютона второго порядка
Δ2y0 = Δ1y1 – Δ1y0 = 3,04 – 3,12 – (-0,05) = -0,03.
y(0,304) = 3,153.
Варианты заданий
6.1. Найти значение функции, используя формулу Лагранжа по данным таблицы
Таблица 1
| х | у | Вариант № | х | |
| 0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75 | 1,63597 1,73234 1,87686 2,03345 2,22846 2,35973 | 0,702 0,512 0,645 0,736 0,608 |
Таблица 2
| х | y | Вариант № | х | |
| 0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30 | 1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976 | 0,102 0,114 0,125 0,203 0,154 |
6.2. Найти значения функции, используя полиномы Ньютона для начала и конца интервала интерполяции.
Таблица 3
| х | у | Вариант № | х | |
| 1,375 1,380 1,385 1,390 1,395 1,400 | 5,04192 5,17744 5,32016 5,47069 5,62968 5,79788 | 1,3832 1,3926 1,3862 1,3934 1,3866 |
Таблица 4
| х | у | Вариант № | х | |
| 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 | 8,65729 8,29329 7,95829 7,64893 7,36235 7,09613 | 0,1264 0,1315 0,1232 0,1334 0,1285 |
Таблица 5
| х | y | Вариант № | х | |
| 0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 | 6,61659 6,39989 6,19658 6,00551 5,82558 5,65583 | 0,1521 0,1611 0,1662 0,1542 0,1625 |
Контрольные вопросы
