8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
Будем считать численность популяции, биомассу популяции и т.п. непрерывными функциями времени.
1. Численность популяции. Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия существования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность, и общее число особей популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в единицу времени. Обозначим эту скорость V(t). В “старых”, установившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста мала и медленно стремятся к нулю. Однако если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными популяциями еще не установились, или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения (например, сознательное вмешательство человека), то V(t) может значительно колебаться, уменьшаясь или увеличиваясь.
Если известна скорость роста популяции, то мы можем найти прирост численности за промежуток времени от t1 до t2. В самом деле, из определения V(t) следует, что она является производной от численности N(t) в момент t, и, следовательно, численность N(t) является первообразной для V(t). Отсюда
(8.1)
Так, известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания скорость роста многих популяций экспоненциальна: V(t)=aert. Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развившуюся культуру в новые емкости с питательной средой. В этом случае получим
(8.2)
По формуле, подобной (8.2), подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.
2. Биомасса популяции. Рассмотрим популяцию, в которой вес особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.
Пусть t означает возраст в тех или иных единицах времени, а N(t) – число особей популяции, возраст которых равен t. Пусть, наконец Р(t) – средний вес особи возраста t, а М(t) – биомасса всех особей в возрасте от 0 до t.
Заметим, что произведение N(t)P(t) равно биомассе всех особей возраста t, и рассмотрим разность М(t+Dt)-М(t). Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех особей в возрасте от t до t+Dt, удовлетворяет неравенствам
(8.3)
где N(
)P() – наименьшее, а N(
)P() – наибольшее значения функции N(t)P(t) в промежутке [t,t+Dt].
Поэтому можно записать, что
где Т – максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М(0), очевидно, равна нулю, то окончательно получаем
1. Средняя длина полета. В некоторых исследованиях необходимо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. Мы приведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекают этот круг по прямой.
Птица может под любым углом в любой точке пересечь окружность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2R. Нас интересует средняя длина пролета. Обозначим ее l.
Так как круг симметричен относительно любого своего диаметра, нам достаточно ограничится теми птицами, которые летят в каком-нибудь одном направлении (например, в направлении, параллельном оси Оу). Тогда средняя длина пролета – это просто среднее расстояние между дугами АСВ и АС1В. Иными словами, это среднее значение функции f1(x)-f2(x), где y=f1(x) – уравнение верхней дуги, а y=f2(x) – уравнение нижней дуги, т.е.
(8.4)
|
равен
площади криволинейной трапеции aACBb, а 
равен площади трапеции aAC1Bb, то их разность равна площади круга, т.е. pR2. Разность b-a равна, очевидно 2R. Подставив это в (8.4), получим
|
8.5.2. Примеры решения задач.
№1. В условиях неограниченных ресурсов питания скорость u(t)= 
роста многих популяций экспоненциальна, т. е. 
u(t)=aekt. Найти прирост Dn популяции за время Dt=t2-t1.
Решение: Так как u= , то dn= u(t)dt, откуда Dn= 
u(t)dt или Dn=n(t2)-n(t1)=n(t) 
№2. Расстояние пружины x пропорционально приложенной силе –F (закон Гука): F=kx. Вычислить работу силы F при растяжении пружины на 5 см (0,05м), если k=200 (Н/м).
Решение: На основании формулы работы имеем:
№3. 100 г. двуокиси углерода нагревается при постоянном объёме от 105° до 1000° С. Определить количество поглощаемой при этом теплоты, если теплоёмкость сv=A(B+Dt) Дж/моль*град, где A=4,19; B=6,5; D=0,00193.
Решение. Количество теплоты, поглощаемой при повышении температуры от t1 до t2, для одного моля выражается формулой
В нашей задаче число молей CO2 равно 100/44.
Q= 
№4. Найти энергию связи между ионами в отдельной молекуле хлорида калия (KCl), если постоянная решетки KCl r=2,79 
(1 =10-8см) и связь между атомами в молекуле KCl электростатическая. Заряд иона e=4,803*10-10 ед. CGSE.
Решение. Энергия связи равна работе по перемещению иона из бесконечности до расстояния, равного постоянной решетки. Сила взаимодействия между ионами подчиняется закону Кулона и для любого расстояния x равна F(x)=e2/x2. Энергия связи
E=A= 
эрг.
8.5.3. Варианты заданий
1) При прохождении электрического тока по нервному волокну оно возбуждает при условии, что проходящий ток больше рогового. Предполагается, что возбуждающий ток увеличивает величину параметра состояния e, называемого «электрическим возбуждением». Как только e превышает определенное значение e0, возникает возбуждение. Скорость изменения e зависит от тока i:
.
Определить связь между параметром e и i при условии, что на нервную ткань воздействуют с постоянным током.
2) Найти путь S, пройденный материальной точкой от начала движения (t=0) до её остановки, зная скорость V(t) её прямолинейного движения: V(t)= 18t - 6t2 (м/с).
3) Два электрических заряда q1=1 Кл и q2=1,2 Кл находятся в воздухе (e=1) на расстоянии x1= 0,2 м. Какую работу надо затратить, чтобы сблизить заряды до расстояния x2=0,05 м.
4) Получит общее выражение для работы, совершенной 
молями идеального газа при изотермическом расширении от V1 до V2.
5) Скорость изменения в крови концентрации C препарата с изотопным индикатором зависит от времени q ни t (час) по закону:
а) 
б) 
Найти концентрацию препарата в крови через t=4 часа, если начальная концентрация 
.
6) Вычислить работу переменного тока J=J0sin wt за период T (за время t1=0 до t2 =T) при прохождении его через проводник с сопротивлением R (v- круговая частота, v 
7) Воздух содержит a=8% CO2; он пропускается через цилиндрический сосуд с поглотительной массой. Тонкий слой массы поглощает количество газа, пропорциональное его концентрации и толщине слоя.
а) Если воздух, прошедший слой в H = 10 см толщиной, содержит b=2% CO2, то какой толщины должен быть поглотительный слой, для того чтобы, выходя из поглотителя, воздух содержался C = 1% CO2 углекислоты?
б) Сколько углекислоты (d%) останется в воздухе, прошедшем поглотитель, если толщина поглотительного слоя будет равна 30 см?
8) Если при прохождении через слой воды толщиной x1 =3м поглощается половина первоначального количества света, то какая часть этого количества дойдёт до глубины x2 = 30 м. (Количество света dJ, поглощенного тонким слоем воды, пропорционально толщине dx слоя и количеству света J, падающего на поверхность его - dJ 
Jdx).
9) Если первоначальное количество фермента 1 г через час становится равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 часов после начала брожения, если считать, что скорость прироста фермента пропорциональна его начальному количеству?
10) Найти функцию, производная от которой равна sinx +2cosx и при x=p принимает значение, равное 4.
11) Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2; 1), зная, что наклон касательной к кривой в каждой её точке равен x.
12) Найти функцию обращающуюся в 2e при x=1, если производная от этой функции равна 
.
13) Скорость тела задана формулой u=(6t2+2t) м/с. Найти уравнение пути s, если за t = 3 с тело прошло путь s=60 м.
14) Скорость точки задана уравнением u=(t2-2t+5) м/с. Найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени она находится в начале координат.
15) Скорость движущейся точки дана уравнением u = 2et м/с. В момент t = 1 с точка находится на расстоянии s = 3e м от начала отсчета. Найти закон движения точки.
16) Тело, брошенное вертикально вверх, имело начальную скорость u0=73,5 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, через сколько секунд оно достигнет наибольшей высоты.
17) 100 г. двуокиси углерода нагревается при постоянном объёме от 105° до 900° С. Определить количество поглощаемой при этом теплоты, если теплоёмкость сv=A(B+Dt) Дж/моль*град. где A=4,24; B=7,5; D=0,00215.
18) Скорость движения тела выражена формулой v=(3t2-2t) м/с. Какой путь пройдёт тело за 5 с от начала движения?
19) Найти работу, произведённую при сжатии пружины на 3 см, если известно что сжатия её 0,5 см нужно приложить силу в 10 Н.
20) В цилиндре с подвижным поршнем заключен атмосферный воздух. Объём цилиндра равен 0,2 м3. Поршнем воздух сжимается до объёма 0,06 м3. Найти работу, произведенную силой давления воздуха, если температура воздуха поддерживается постоянной.
21) Тело движется в некоторой среде прямолинейно по закону s=t2. Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости движения. Найти работу, произведенную силой сопротивления среды, при передвижении тела от s=0 до s=a.
22) Вычислить работу, затрачиваемую спортсменом при растяжении пружины эспандера на 70 см, если известно, что при усилии в 10 Н эспандер растягивается на 1 см.
23) Два электрических заряда: q1=100 ед. CGSE и q2=120 ед. CGSE находятся в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга. Каким будет расстояние между зарядами, если приблизить второй к первому, затратив при этом работу в 1800 эрг?
24) Вычислить работу тока за время от t1=0 до t2=T, если сила тока определяется формулой I=I0 sin w0t, где I0- максимальное значение тока; w0- круговая частота; t- время.
25) Формула температурной зависимости истинной мольной теплоёмкости Fe2O3:
cr= A (B+CT-DT2) кал/моль*град.
Где A=4,19; B=24,72; C=16,04; D=4,234. Определить количество теплоты (в кДж), необходимое для нагревания 1 кг Fe2O3 от 16° до 1538° С.
26) На расстоянии x находятся два тела массами m1 и m2, которые взаимодействуют друг с другом с силой F=y 
. Вычислить работу, которую производит эта сила при перемещении тела m2 в бесконечность из положения x=a.
27) Найти среднее значение электродвижущей силы Eср, изменяющейся со временем по закону E=E0sin 
t, и среднее значение её квадрата E2ср в течение одного полупериода, т. е. от t=0 до t=T/2.
28) Найти массу стержня длинной 0,50 см, если линейная плотность стержня меняется по закону r=(5x+0,4x2) кг/м, где x – расстояние от одного из концов стержня.
29) Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током I=2sin 
в течение периода T=0,02 с в проводнике с сопротивлением 100 Ом.
30) Некоторая масса газа при давлении 104 Н/м2 занимает объём 4 м3. Какую работу надо совершить над газом, чтобы, не изменяя его температуры, уменьшить объём до 1 м3?
8.6. Контрольные вопросы
1. Дайте понятие интегральной суммы.
2. Что называется определенным интегралом?
3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
4. Перечислите основные свойства определенного интеграла. Сформулируйте теорему о среднем.
5. Каковы характерные особенности применения метода замены переменной к вычислению определенного интеграла?
6. Каковы характерные особенности применения метода интегрирования по частям к вычислению определенного интеграла?
7. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
8. Приведите примеры применения интегрального исчисления в биологии и медицине.
