7.4.1. Непосредственное интегрирование
Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличной форме.
Пример. Найти интегралы:
1) 
.
Решение. На основании свойств 3 и 4 неопределенного интеграла и таблицы интегралов имеем
2) 
.
Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла:
3) 
.
7.4.2. Метод подстановки (замена переменной)
Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
1) 
, где t – новая переменная, а φ (t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда формула замены переменной
.
2) 
, t – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:
Пример. Найти интегралы, используя подходящую подстановку:
1) 
.
Решение. Введем подстановку t = x 3+5. Тогда dt = d (x 3+5); dt =3 x 2 dx. Отсюда x 2 dx = dt /3. Таким образом,
.
Ответ должен быть выражен через «старую» переменную х. Подставляя в результат интегрирования t = x 3+5. Окончательно получим 
.
2) 
.
Решение.
Условимся в дальнейшем все промежуточные рассуждения и выкладки заключать в вертикальные скобки (как было сделано в примере 2).
7.4.3. Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
, (6.4.1)
где u и v непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью формулы (6.4.1) нахождение интеграла 
сводится к нахождению другого интеграла 
. Применение этой формулы целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Пример. При нахождении интеграла 
, полагая u = x –5, dv = cos xdx, найдем du = dx, 
. Следовательно, применяя формулу (6.4.1), получим
Примеры
№1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Решение.
а) Почленно поделив числитель подынтегральной дроби на знаменатель, будем иметь
.
Тогда 
б) Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла, тем самым сводя исходный интеграл к сумме табличных интегралов:
в) 
г) 
.
Здесь мы воспользовались свойством 5 неопределенного интеграла и формулой 4 пункта 7.3.
№2. Найти интегралыметодом подстановки:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Решение.
а) 
б) 
в) 
г) 
№3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:
а) 
;
б) 
.
Решение.
а) Положим 
, откуда 
. Тогда по формуле (6.4.1) находим
б) 
(*)
К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям. Положим 
, тогда 
, следовательно,
Подставляя найденное выражение в соотношение (*), получим
Варианты заданий
№7.1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж)
з) 
;
и) 
;
к) 
;
л) 
;
м) 
.
№7.2. Найти интегралы методом подстановки:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
;
и) 
;
к) 
;
л) 
;
м) 
.
№7.3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
;
и) 
;
к) 
.
Контрольные вопросы
1. Что такое первообразная? Обладают ли первообразные одной функции свойством единственности?
2. Дайте определение, в том числе виде математического выражения, неопределенного интеграла.
3. Что такое подынтегральная функция? Подынтегральное выражение?
4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. Запишите эти свойства в виде математических выражений.
5. Воспроизведите таблицу основных интегралов. Докажите справедливость записанных выражений с использованием операции дифференцирования.
6. В чем заключается метод замены переменной в определенном интеграле? метод интегрирования по частям?
7. Какие функции в подынтегральном выражении рекомендуется выбирать в качестве и и dv при интегрировании по частям?
8. Назовите основные типы интегралов, к которым применяется метод интегрирования по частям.
9. Что называется рациональной дробью? Как выделить из неправильной рациональной дроби и правильную дробь? Как разложить правильную дробь на сумму простейших?
