Промежутки монотонности и знакопостоянства
Если функция f (x) имеет производную на отрезке [ a, b ] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f / (x) ³ 0.
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f / (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ a, b ] (рис. 3.1).
Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f (x) убывает на отрезке [ a, b ], то f / (x)£0 на этом отрезке. Если f ¢ (x)<0 в промежутке (a, b), то f (x) убывает на отрезке [ a, b ] (рис. 3.2).
Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на интервале (a, b).
Экстремумы функции
Функция f (x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f (x) имеет в точке х2 минимум, если f (x2 + D x) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).
Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
(необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Но обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.
Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.
Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) = 
 |
| В точке х = 0 функция имеет минимум, но не имеет производной | В точке х = 0 функция не имеет ни максимума, ни минимума, ни производной |
Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.
(Достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция f(x) непрерывна в интервале ( a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).
Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “ + ” на “–“, то в точке х = х1 функция f( x ) имеет максимум, а если производная меняет знак с “ – “ на “ + ”, то функция имеет минимум.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1) Найти критические точки функции.
2) Найти значения функции в критических точках.
3) Найти значения функции на концах отрезка.
4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
