Пусть функция y = f (x) имеет производную в точке x 0. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М 0(x 0, у 0), уравнение которой имеет вид
.
При этом 
, где a – угол наклона этой касательной к положительному направлению оси ОХ (рис. 2.1).
 |
Геометрически, чтобы провести касательную, надо к графику кривой приставить линейку так, чтобы она коснулась графика в выбранной точке.
Геометрический смысл: угловой коэффициент касательной, приведенной к графику функции y = f (x) в точке x 0 равен значению производной функции в этой точке.
Физический смысл: скорость тела равна первой производной координаты по времени:
V (t)= x / (t). (2.1)
Соответственно, вторая производная функции – скорость изменения скорости, т.е. ускорение:
a (t)= V / (t)= x // (t). (2.2)
Таблица производных
1. С ¢ = 0, где С –постоянная
2. (xm)¢ = mxm– 1
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Основные правила дифференцирования
Пусть u и v – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда
1. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных:
(u + v) ′= u ′+ v ′
2. Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по следующему правилу:(uv) ′= u ′ v + uv ′, в частности (Cu) ′= Cu ′, С= const (постоянный множитель можно выносить за знак производной)
3. Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по следующему правилу:
, где v ¹ 0
4. Производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной: y ′ x=y ′ u · u ′ x, где и – промежуточный аргумент.
Производные высших порядков
Производная f ′ (x) от функции f (x) называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции f ′ (x) тоже является функцией от x, поэтому также может быть дифференцируема и называется производной второго порядка от функции f (x) (или просто второй производной).
Вторая производная обозначается символами: f ′′(х) (читается: «эф два штриха от икс») или 
(«дэ два эф по дэ икс дважды»).
Исходя из определения второй производной, можно записать: 
.
Аналогично определяется третья производная:
= 
и т.д.
Производная п -ного порядка обозначается 
.
Дифференциал функции
Если функция f (х) дифференцируема в точке х 0, то ее приращение можно представить в виде
Δf (х 0) = f /(x 0)× Δх + α (Δх)× Δх. (2.3)
В этом случае выражение f / (x 0)× Δх, линейно зависящее от Δх, называется дифференциалом функции f (х) в точке х 0 и обозначается символом df (x):
df (x) = f '(x 0)· Δx.
Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение ее аргумента.
Термин «дифференциал» происходит от латинского слова differentia, означающего различие.
Дифференциал функции есть главная часть приращения функции. В этом состоит аналитический смысл дифференциала.
Дифференциал аргумента dx равен его приращению ∆x: dx = ∆ x. Поэтому можно записать df = f / (x) dx (дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента).
Если приращение аргумента ∆x близко к нулю (достаточно мало), то приращение функции Δf приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Δf» df, откуда f (х 0 + ∆ x) ≈ f / (x 0) + df или
f (х 0 + ∆ x) ≈ f /(x 0) + f / (x 0) ∆ x (2.4)
Формула (2) используется для приближенного вычисления значения функции f (x) в точке x 0+ ∆x по известному значению этой функции и ее производной в точке x 0.
