Геометрический и физический смысл производной

 

Пусть функция y = f (x) имеет производную в точке x ₀. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М ₀(x ₀, у ₀), уравнение которой имеет вид

.

При этом , где a – угол наклона этой касательной к положительному направлению оси ОХ (рис. 2.1).

 

 

 

Геометрически, чтобы провести касательную, надо к графику кривой приставить линейку так, чтобы она коснулась графика в выбранной точке.

Геометрический смысл: угловой коэффициент касательной, приведенной к графику функции y = f (x) в точке x ₀ равен значению производной функции в этой точке.

 

Физический смысл: скорость тела равна первой производной координаты по времени:

V (t)= x ^/ (t). (2.1)

Соответственно, вторая производная функции – скорость изменения скорости, т.е. ускорение:

a (t)= V ^/ (t)= x ^// (t). (2.2)

 

Таблица производных

 

1. С ¢ = 0, где С –постоянная

2. (x^m)¢ = mx^{m– 1}

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

 

Основные правила дифференцирования

Пусть u и v – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда

1. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных:

(u + v) ′= u ′+ v ′

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по следующему правилу:(uv) ′= u ′ v + uv ′, в частности (Cu) ′= Cu ′, С= const (постоянный множитель можно выносить за знак производной)

3. Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по следующему правилу:

, где v ¹ 0

4. Производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной: y ′ _x=y ′ _{u ·} u ′ _x, где и – промежуточный аргумент.

 

Производные высших порядков

 

Производная f ′ (x) от функции f (x) называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции f ′ (x) тоже является функцией от x, поэтому также может быть дифференцируема и называется производной второго порядка от функции f (x) (или просто второй производной).

Вторая производная обозначается символами: f ′′(х) (читается: «эф два штриха от икс») или («дэ два эф по дэ икс дважды»).

Исходя из определения второй производной, можно записать: .

Аналогично определяется третья производная:

= и т.д.

Производная п -ного порядка обозначается .

 

Дифференциал функции

 

Если функция f (х) дифференцируема в точке х ₀, то ее приращение можно представить в виде

Δf (х ₀) = f ^/(x ₀)× Δх + α (Δх)× Δх. (2.3)

В этом случае выражение f ^/ (x ₀)× Δх, линейно зависящее от Δх, называется дифференциалом функции f (х) в точке х ₀ и обозначается символом df (x):

df (x) = f '(x ₀)· Δx.

Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение ее аргумента.

Термин «дифференциал» происходит от латинского слова differentia, означающего различие.

Дифференциал функции есть главная часть приращения функции. В этом состоит аналитический смысл дифференциала.

Дифференциал аргумента dx равен его приращению ∆x: dx = ∆ x. Поэтому можно записать df = f ^/ (x) dx (дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента).

Если приращение аргумента ∆x близко к нулю (достаточно мало), то приращение функции Δf приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Δf» df, откуда f (х ₀ + ∆ x) ≈ f ^/ (x ₀) + df или

f (х ₀ + ∆ x) ≈ f ^/(x ₀) + f ^/ (x ₀) ∆ x (2.4)

Формула (2) используется для приближенного вычисления значения функции f (x) в точке x ₀+ ∆x по известному значению этой функции и ее производной в точке x ₀.