Глава 2. Производная и дифференциал

Рязань 2009

УДК 517.2/.3 + 519.2 (075.8)

ББК 22.161.1+22.17

М 34

Авторы – составители: М.П. Булаев, М.Н. Дмитриева, Н. В. Дорошина, И.С. Маркова, О.А. Назарова, Е.В. Прохорова

Рецензенты: С.П. Вихров, д.ф.-м.н., профессор Рязанского

государственного радиотехнического

университета;

А.Н. Пылькин, д.т.н., профессор Рязанского государственного радиотехнического университета;

 

М34

Математика: Практикум /Авт.-сост. М.П.Булаев [и др.]; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. - Рязань: РИО РГМУ, 2009. –223с.

 

Предназначен для первоначального изучения дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей и математической статистики. Практикум рассчитан на студентов специальностей 060101, 060104, 060105, 060108, 030302 дневной, вечерней и заочной форм образования.

Он также может быть полезен студентам других гуманитарных специальностей.

УДК 517.2/.3+519.2 (075.8)

ББК 22.161.1+22.17

 

 

Табл.: 60 Ил.: 38 Библиогр.: 10 назв.

 

Печатается по решению Учебно-методического Совета Рязанского государственного медицинского университета.

 

ã ГОУ ВПО «РязГМУросздрава», 2009

Глава 1. Предел функции

 

Определение предела

 

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Число А называется пределом функции f (x) при х ® а, если для любого e >0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что 0 < ï x – a ï < D верно неравенство ï f (x) – A ï< e (рис. 1.1).

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а – D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А – e < f (x) < A + e.

Запись предела функции в точке: .

Если f (x) ® A ₁ при х ® а только при x < a, то называется пределом функции f (x) в точке х = а слева, а если f (x) ® A ₂ при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f (x) в точке х = а справа (рис. 1.2).

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f (x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А ₁ и А ₂ называются также односторонними

пределами функции f (x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f (x).

 

Операции над пределами

 

1. Предел постоянной есть сама постоянная: , где С = const.

Следующие свойства справедливы при предположении, что функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы при х ® а;

2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов:

;

3. Предел произведения равен произведению пределов:

;

4. Постоянную можно выносить за знак предела:

;

5. Предел отношения равен отношению пределов:

, при ;

6. Если f (x)> 0 вблизи точки х = а и , то А >0.

Аналогично определяется знак предела при f (x) < 0, f (x) ³ 0, f (x) £ 0;

7. Если g (x) £ f (x) £ u (x) вблизи точки х = а и , то и ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. Неопределенность вида можно раскрыть, если числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной;

13. Неопределенность вида можно раскрыть, если числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить.

 

Замечательные пределы

 

Найдем предел отношения двух многочленов, т.е. , где

P (x) = a ₀ xⁿ + a ₁ x^{n– 1} +…+a_n, Q (x) = b ₀ x^m + b ₁ x_{m– 1} +…+b_m. Преобразуем данную дробь следующим образом

Таким образом,

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел: , где е постоянная, которая приблизительно равна 2,718281828…

Часто если непосредственное нахождение предела какой-либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при х ®0:

1. ~ х;

2. 1–cos x ~ ;

3. tg x ~ x;

4. arcsin x ~ x;

5. arctg x ~ x;

6. ln (1+ x) ~ x;

7. a^x –1 ~ x ln a;

8. ~ .

 

Примеры

 

№1. Используя свойства пределов функций, найти следующие пределы:

а)

б)

в)

г)

 

Решение.

а) Применяя теорему о действиях над пределами функций, получим:

 

б) Так как пределы числителя и знаменателя при х ®2 равны нулю, то мы имеем неопределенность вида . «Раскроем» эту неопределенность (т.е. избавимся от нее), разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель х– 2:

.

 

в) Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю (избавимся от иррациональности в числителе):

г) Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределенность вида . Раскроем эту неопределенность. Поделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень х, т.е. на х ²:

Таким образом,

 

№2. Найти пределы:

а)

б)

в)

г)

Решение.

а) Сделаем замену у=αх; тогда у ®0 при х ®0 и . В последнем равенстве мы воспользовались первым замечательным пределом. Таким образом,

 

б) Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим пунктом:

 

в) Сводя предел к первому замечательному пределу, сделаем замену у = х – . Тогда у ®0 при х ® , а х = у + , откуда:

Во втором равенстве в этой цепочке мы использовали формулу приведения, а в последнем – первый замечательный предел.

 

г) Так как х ®0, то воспользуемся эквивалентностью №4:

.

 

Варианты заданий

 

№1.1. Найти пределы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) .

№1.2. Найти пределы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

 

№1.3. Найти пределы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з)

Контрольные вопросы

Глава 2. Производная и дифференциал

 

Понятие производной

 

Рассмотрим функцию y = f (x). Предположим, что x ₀ внутренняя точка множества определения функции. Зададим приращение аргумента D x ¹0 такое, что точка x ₀+D x Î Df. Тогда соответствующее приращение в т. x ₀ будет иметь вид: Df = f (x ₀+D x)– f (x ₀).

Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента D х ®0, то он называется значением производной функции f (x) в точке х ₀

Обозначение: .

Также возможны и другие обозначения: , .

Если функция y = f (x) имеет конечную производную в каждой точке некоторого промежутка, то производную можно считать функцией переменной х и обозначать у ^/(х), .

Если в точке x ₀ существует конечная производная функции y = f (x), то эта функция называется дифференцируемой в точке x ₀.

Если функция y = f (x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то она дифференцируема на промежутке.