Методы прогнозирования: интерполяция, экстраполяция

Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое – ретроспективной.

Применение экстраполяции для прогнозирования должно основываться на предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохраняется и вне этого ряда.

Это означает, что основные факторы, сформировавшие выявленную закономерность изменения уровней ряда во времени, сохранятся и в будущем.

Возможность распространения тенденции как в будущее, так и в прошлое заложена в свойстве массовых явлений и процессов, называемой инерционностью. То есть, если массовое явление или процесс обладают определенным свойством, то они теряют или изменяют это свойство не мгновенно, а постепенно и не сразу.

Экстраполяция в прогнозировании базируется на двух основных предпосылках:

· развитие описывается плавной кривой;

· общая тенденция развития в прошлом и настоящем не претерпевает серьезных изменений.

Существует экстраполяция во времени и в пространстве.

Экстраполяция во времени применяется для перспективных расчетов показателей динамики в различных областях знаний.

Экстраполяция в пространстве – это распространение выборочных данных на другую часть совокупности, не подвергнутую наблюдению.

Чем короче срок экстраполяции (период упреждения), тем более надежные и точные результаты дает прогноз. В зависимости от того, какие принципы и исходные данные положены в основу прогноза, выделяют следующие методы экстраполяции:

· среднего абсолютного прироста;

· среднего темпа роста;

· выравнивания по аналитической формуле.

Эти способы экстраполяции тренда являются самыми приближенными.

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в том случае, если есть уверенность считать общую тенденцию линейной.

Если основная тенденция изменений признака близка к прямолинейной, то значение уровня ряда в последующий период (n +1) можно приблизительно определить по формуле:

, где:

- средний абсолютный прирост.

Период учреждения прогноза (L) не должен превышать 1/3 n, т.е.

L‹1/3 п, где:

п - число членов анализируемого динамического ряда.

Прогнозирование по среднему темпу роста осуществляется в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. В этом случае экстраполяция осуществляется по формуле:

, где

y _n – последний уровень ряда динамики;

t – срок прогноза;

– средний коэффициент роста.

Наиболее распространенным методом прогнозирования считают аналитическое выражение тренда.

Нахождение по имеющимся данным за определенный период времени некоторых недостающих значений признака внутри исследуемого периода называется интерполяцией.

Как и экстраполяция, интерполяция может производиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и с помощью аналитического выравнивания.

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза.

Решение типовых задач

7.6.1. Постройте модель, описывающую динамику процесса производства легковых автомобилей в РФ (тыс. шт.) и постройте линию тренда:

Решение:

1. Аналитически модель линейного тренда выражается следующим уравнением прямой линии:

2. подбираем функцию для описания ряда с условием ;

3. для нахождения значений параметров а ₀ и а ₁ системы уравнений необходимо сделать дополнительные расчеты и найти и .

Результаты запишем в таблицу:

месяц	у	t
	87,2	-4		-348,8	84,7
	81,0	-3		-243,0	85,1
	82,4	-2		-164,8	85,5
	85,8	-1		-85,8	85,8
	90,4				86,2
	84,0			84,0	86,5
	96,3			192,6	86,9
	85,5			256,5	87,3
	83,0				87,6
∑	775,6			22,7	775,6

4. находим значения параметров а ₀ и а₁ трендовой модели:

5. модель динамики производства легковых автомобилей:

6. подставляем имеющиеся в условии помесячные значения t и получаем средние помесячные уровни выпуска автомобилей:

……………………………………….

7. проверим правило средних величин:

Сумма расчетного должна быть равна сумме исходных :

Правило выполнено, значит модель построена и вычислена верно;

8. построим линию тренда в осях координат:

· сначала нанесем линию фактической динамики;

· затем нанесем линию средних значений динамики по месяцам и получим линейный тренд, выровненный методом наименьших квадратов;

· далее можно построить прогноз на будущее графически продлением линии тренда, т.к.

и аналитически:

7.6.2. Требуется провести анализ динамики продажи мясных консервов за 2006-2010 г.г. по условным данным, т.е. определить абсолютные приросты (Δ у), темпы роста или снижения продажи мясных консервов (Т_р), темпы прироста

(Δ Т), абсолютное значение 1% прироста (А_1%), темпы наращивания (Т_наращ.), а также средние показатели ().

Для удобства и наглядности исходные и рассчитанные показатели изложим в одной таблице:

Решение:

Для определения абсолютной скорости роста (снижения) продажи мясных консервов определяем абсолютные приросты ряда динамики по формулам:

у = у - у ,

у = у - у

Абсолютное уменьшение продажи консервов за 2007 г. по сравнению с 2006 г. составило: 806-891 = -85 млн. усл. банок, а в 2010 году по сравнению с базисным 2006 годом продажа консервов возросла на 760 млн. усл. банок.

Интенсивность изменения уровней ряда динамики оценивается относительным показателем - темпом роста (Т_р), который определяется по следующим формулам:

; .

Так, для 2010 года темп роста по сравнению с 2006 годом составил:

(графа 5 таблицы)

Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда определяем темпы прироста базисные и цепные (графы 5 и 6) таблицы:

=

Например, в 2010 году продажа консервов возросла по сравнению с 2006 годом на 85,3% ( или 185,3 – 100 = 85,3%).

Показатель абсолютного значения прироста продажи консервов определяется по следующим формулам:

Для 2010 года абсолютное значение 1% прироста (графа 8 таблицы) равно:

млн.усл.банок или млн.усл.банок.

Для определения темпов наращивания продажи мясных консервов используем следующие формулы (графа 9 таблицы):

Так, например в 2007 году по сравнению с 2006 годом наблюдалось уменьшение продажи мясных консервов на 9,5%, а в 2008 году по сравнению с 2006 годом продажа консервов увеличилась на 88,6%, в 2010 году по сравнению с 2006 годом продажа консервов предприятиями потребительской кооперации увеличилась лишь на 1,57%.

Средний абсолютный прирост определяем по формуле:

= млн.усл.банок.

Среднегодовой темп роста определяем по следующей формуле:

= или 116,7%.

Среднегодовой темп прироста получим, вычтя из среднегодового темпа роста 100%:

116,7% - 100% = 16,7%.

Следовательно, среднегодовой темп прироста продажи мясных консервов предприятиями потребительской кооперации региона составляет 16,7%

7.6.3. По данным о розничном товарообороте предприятия по кварталам 2009-2010 гг. произведите анализ основной тенденции развития товарооборота за указанный период времени и рассчитайте прогноз розничного товарооборота предприятия на ближайшую перспективу, т.е. определите вероятные значения розничного товарооборота на II, III и IV кварталы 2010 г. (в таблице, в графах 2-3 уже сделаны некоторые необходимые вычисления):

Решение:

Для определения основной тенденции изменения товарооборота исчислим темпы роста по годам, свидетельствующие об интенсивности развития товарооборота по кварталам, и абсолютные приросты по годам по следующим формулам:

, , , .

Чтобы установить тип развития явления, определяющим фактором (признаком) берется характер изменения абсолютных приростов.

Абсолютные приросты стабильны, кроме последнего периода –

I квартала 2010 года. При среднем абсолютном приросте, равном 205,6 млн. руб., величина изменений абсолютных приростов колеблется и составляет

+/-29,9 млн. руб. (), т.е. является незначительной. Поэтому для упрощения расчетов и интерпретации полученных результатов анализируемый ряд динамики будем считать с равномерным развитием, пренебрегая последним результатом и применяя для аналитического выравнивания уравнение прямой линии.

Для этой же цели обоснования выбора уравнения на основании данных первых двух граф табличных данных построим график зависимости розничного товарооборота от времени:

На основании графика можно сделать вывод в основном о прямой линейной зависимости между розничным товарооборотом и временем, т.е. выраженной уравнением прямой линии:

Для вычисления параметров уравнения способом наименьших квадратов

запишем систему нормальных уравнений:

,

.

Для решения системы нормальных уравнений составим таблицу:

кварталы	розничный товарооборот, млн. руб., (у)	условные обозначения времени, (t)	t	tу	теоретические уровни, ()
А
I 2009 г.	694,8			694,8	643,65
II 2009 г.	753,0			1506,0	888,31
III 2009 г.	1147,3			3441,9	1132,96
IV 2009 г.	1552,7			6210,8	1377,61
I 2010 г.	1517,0			7585,0	1622,67
Итого:	5664,8			19438,5	5664,80

Подставляя значения расчетной таблицы, определяем параметры уравнения прямолинейной функции:

Делим каждое уравнение на коэффициенты при а : каждый член первого уравнения делим на 5, а каждый член второго уравнения делим на 15 и получаем:

.

Из второго уравнения вычитаем первое и находим параметр а :

0,6666 а = 162,94,

отсюда

а = = 244,65.

Значение а подставляем в первое уравнение и находим а :

а = 398,99.

Зная значения а и а , запишем уравнение прямой линии:

На основании полученного уравнения рассчитаем теоретические уровни, т.е. объемы розничного товарооборота, вычисленные по уравнению прямой, за все кварталы 2005 г. и I квартал 2006 г.

Решаем уравнение связи пять раз, подставляя вместо t имеющиеся условные значения времени.

Для I квартала 2009 г.:

() = 398,99 + 244,65*1 = 643,65 млн. руб.

Для второго квартала 2009 г.:

() = 398,99 + 244,65*2 = 888,31 млн.руб.

и т.д. (графа 5 расчетной таблицы).

Для того, чтобы сделать прогноз розничного товарооборота на II, III и IV кварталы 2010 года, необходимо в данное уравнение подставить следующие значения времени:

для II квартала 2010 г. t = 6;

для III квартала 2010 г. t = 7;

для IV квартала 2010 г. t = 8.

Произведя все расчеты, находим прогноз товарооборота на II квартал 2010 г.:

= 398,99+244,65*6 = 18866,92 млн. руб.;

III квартал 2010 г.– 2111,58 млн.руб.; IV квартал 2010 г.– 2356,23 млн. руб.

Эта модель будет действительна при условии, что в дальнейшем сохранится та же тенденция развития данного экономического явления, каким является закономерность формирования розничного товарооборота имеющегося предприятия.

В полученном уравнении прямой линии а_о является свободным членом и показывает то значение товарооборота, начиная с которого выполняется имеющаяся закономерность изменения товарооборота. Наибольшее значение имеет коэффициент регрессии а₁ , который показывает, что при изменении времени на одну условную единицу (квартал) розничный товарооборот возрастает в среднем за квартал на 244,65 млн.рублей.

7.6.4. Реализация кондитерских изделий в магазинах области характеризуется следующими данными:

На основе проведенных данных:

1) определите характер общей тенденции динамики реализации кондитерских изделий;

2) применяя соответствующую формулу индекса сезонности, измерьте сезонные колебания реализации кондитерских изделий;

3) показатели сезонной волны изобразите графически;

4) на основе синтезированной модели сезонной волны сделайте прогноз объемов реализации по месяцам 2005 года возможного поступления в магазины 1700 тонн кондитерских изделий.

Решение:

Определим характер общей тенденции ряда динамики реализации кондитерских изделий:

Таблица А

Определенной закономерности здесь не выявляется, так как на основании базисных темпов роста можно сказать, что реализация кондитерских изделий в 2009 г. по сравнению с 2008 г. падает на 2,05% (97,95%-100%), а в 2010 г. по сравнению с 2009 г. возрастает на 1,15% (101,15%-100%).

Показатель среднегодового темпа роста также свидетельствует об отсутствии значительной тенденции роста, исчисленный по следующей формуле:

или 100,57%.

Средний темп прироста =0,57%.

Основная тенденция развития непосредственно не просматривается.

Следовательно, для дальнейшего решения суммируются данные по месяцам за три года (из таблицы А):

для января 131,8+132,1+137,3=401,2

для февраля 127,9+130,8+132,2=390,9

для марта 128,9+133,0+142,0=403,9

и т.д.

Затем по формуле простой средней арифметической = , которая является постоянной для каждого месяца, находим среднее значение реализации кондитерских изделий за каждый месяц в среднем за три года:

для января = =133,73 тонн

для февраля _февр = 130,30 тонн и т.д.

Для каждого месяца эти значения определены в графе 2 таблицы Б.

В последней строке графы 1 определен знаменатель формулы индекса сезонности в виде общего для всего ряда динамики среднего уровня , также по формуле средней арифметической простой:

тонн

Таблица Б

месяцы	всего за 3 года, тонн	в среднем за 3 года, тонн =	индекс сезонности, % I = (: )* 100%	прогноз на 2007 г., тонн
А
Январь	401,2	133,73	99,0	141,7*0,99=140,3
Февраль	390,9	130,30	96,4	136,6
Март	403,9	134,63	99,6	141,1
Апрель	416,2	138,73	102,7	145,5
Май	402,1	134,03	99,2	140,6
Июнь	412,6	137,53	101,8	144,3
Июль	406,1	135,37	101,2	143,4
Август	397,6	132,53	98,1	139,0
Сентябрь	400,9	133,63	98,9	140,1
Октябрь	405,1	135,03	99,9	141,6
Ноябрь	406,3	135,43	100,2	142,0
Декабрь	422,5	140,83	104,2	147,7
Итого	4865,4	1621,77	100,0	1700,0

Этот общий средний уровень () и используется в качестве постоянной базы сравнения при определении средних индексов сезонности, которые помещены в графе 3 таблицы 3:

и т.д.

Из графы 3 таблицы 3 видно, что сезонные колебания реализации кондитерских изделий характеризуются повышением реализации в декабре (+4,2%), апреле (+2,7%), июне (+1,8), июле (+1,2), ноябре (+0,2) и снижены в других месяцах.

Характер сезонных колебаний покажем на графике сезонной волны реализации кондитерских изделий в магазинах области в 2008-2010 годах по месяцам (в % к среднему уровню, который составляет 100%):

На графике видно, что наибольшая реализация кондитерских изделий приходится на апрель, июнь, июль, ноябрь и декабрь, а наименьшая реализация – на февраль и август, что подтверждает выполненные аналитические расчеты.

Эта же тенденция в реализации кондитерских изделий сохранится и на предстоящий период, т.е. на 2011 год.

Мерой сезонной колеблемости является среднее квадратическое отклонение (σ), расчет которого произведен в таблице В:

Таблица В

месяц	в среднем за 3 года, тонн ()	отклонение от среднего, тонн -	квадрат отклонения
январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь	133,7 130,3 134,6 138,7 134,0 137,5 135,4 132,5 133,6 135,0 135,4 140,8	-1,3 -4,7 -0,4 +3,7 -1,0 +2,5 +0,4 -2,5 -1,4 +0,4 +5,8	1,69 22,09 0,16 13,69 1,00 6,25 0,16 6,25 1,96 0,16 33,64
итого	1621,77	-	87,05
в среднем	135,14 135,0	-	7,25

тонн.

Коэффициент сезонной колеблемости (V_S) определяется по формуле:

На основе значений сезонной волны по месяцам сделаем прогноз поступления в магазин кондитерских изделий по месяцам 2011 года, если общий объем реализации за весь год составит 1700 тонн.

Для этого найдем сначала средний месячный объем реализации:

тонн.

Чтобы определить или дать прогноз объемов реализации кондитерских изделий на каждый месяц, необходимо полученную сумму 141,7 тонн умножить на значения соответствующих индексов сезонности для каждого месяца:

для января - 141,7 * 0,99 = 140,3 т;

для февраля - 141,7 * 0,964 = 136,6 т

и т.д.

Указанные расчеты помещены в графе 4 таблицы Б, причем общая сумма реализации за все 12 месяцев равна исходной сумме 1700 тонн, что свидетельствует о правильности проведенных расчетов.