Показатели асимметрии и эксцесса распределений

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывается относительный показатель асимметрии (А _s).

Существует несколько видов расчетов коэффициента асимметрии, например по формуле:

, где:

- средняя величина ряда распределения,

М₀ - центральный момент распределения,

σ - среднее квадратическое отклонение.

Величина показателя асимметрии (А_s)может быть положительной иотрицательной.

Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии (более длинная ветвь вправо).

Отрицательный знак показателя асимметрии говорит о наличии левосторонней асимметрии (более длинная ветвь влево).

Величина асимметрии может изменяться от -1 до +1 (для одновершинных распределений).

Чем больше абсолютная величина коэффициента асимметрии, тем больше степень скошенности вправо или влево.

Принято считать, что если коэффициент асимметрии А_s меньше 0,25. то асимметрия незначительная, а если А_s свыше 0,5, то асимметрия значительная.

При симметричном распределении А_s = 0, т.к. варианты равноудалены

от и имеют одинаковую частоту.

Заостренность или крутизна графика распределения вычисляется с использованием центрального момента четвертого порядка по формуле:

, где:

M₄ – центральный момент четвертого порядка,

среднее квадратическое отклонение в четвертой степени.

 

При измерении асимметрии эталоном служит симметричное распределение, для которого А₃ = 0.

Для нормального распределения показатель асимметрии четвертого порядка равен 3 (А ₄ = 3).

 

Для сравнения островершинности распределений в качестве эталонного выбирается нормальное распределение, которое сравнивается с фактическим и рассчитывается показатель эксцесса по формуле:

Эксцесс также может быть положительным и отрицательным.

У высоковершинных (островершинных) распределений показатель эксцесса (Е_х) имеет положительный знак (+), а у низковершинных (плосковершинных) – отрицательный знак (-).

Предельным значением отрицательного эксцесса является значение

Е_х = - 2, величина положительного эксцесса является величиной бесконечной.

Так как в нормальном распределении , следовательно, для нормального распределения показатель эксцесса равен нулю (Е_х = 0).

Средняя квадратическая ошибка эксцесса исчисляется по формуле:

, где:

n - число наблюдений.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное распределение к типу нормального распределения.

Распределения, близкие к нормальному распределению, встречаются при изучении самых различных явлений развития природы и общества.