Существенное значение для работы системы АПЧ при больших расстойках имеет также форма скатов детекторной характеристики. 2 страница

Согласно критерию устойчивости Найквиста система с обратной связью в замкнутом состоянии неустойчива, если /Ср" — 1. С учетом (9.23) это означает, что одновременно должны выполняться условия

(9.24)

Из первого равенства (9.24) можно определить частоту, на которой выполняется условие неустойчивости:

(9.25)

Подставляя (9.25) во второе равенство (9.24), найдем критическое время запаздывания т₃.„_р, при котором система АПЧ оказывается неустойчивой:

(9.26)

При / Сапч 3> 1 (обычно это условие выполняется) arctg (} Klivi 1)да да arctg / Сапч да л/2 и для т_:). _lip получаем

Формула (9.27) указывает критическое время запаздывания при выбранной постоянной времени RC- фильтра и глубине регулирования /Сапч - Превышение значения т_я._кр(и даже приближение к нему) приводит к неустойчивости системы АПЧ.

Будучи решенной относительно тапч, формула (9.27) дает ее критическое значение при заданном времени задержки в элементах цепи АПЧ:

(9.28)

Система АПЧ устойчива, если т_Апч > тапч ир- Это объясняется тем, что с ростом тапч снижается коэффициент передачи петли АПЧ на данной частоте Q и частота Q_r, на которой выполняется первое условие (9.24), также уменьшается.

При более сложных фильтрах цепи АПЧ (двухзвенных, трехзвенных) допустимое время запаздывания в элементах цепи АПЧ снижается, а переходный процесс может иметь колебательный характер даже без запаздывания в элементах цепи АПЧ.

Таким образом, при выборе постоянной времени системы АПЧ (тапч) следует учитывать в общем случае требования заданного быстродействия, отсутствия демодуляции ЧМ-сигнала и условие устойчивости.

Как отмечалось, в импульсных системах АПЧ при недостаточной инерционности системы возможны параметрическая генерация на частоте FJ2 (F_n — частота повторения импульсов), а также колебательный характер установления частоты гетеродина. Анализ импульсных систем приводит к уравнениям в конечных разностях, подобных таковым для систем импульсных АРУ. При t_y > Т„, так же как и для систем АРУ, с импульсным характером сигнала можно практически не считаться.

ГЛАВА 10

ФАЗОВАЯ АВТОМАТИЧЕСКАЯ ПОДСТРОЙКА ЧАСТОТЫ (ФАПЧ)

§ 10.1. Области применения и принципы работы системы ФАПЧ

Системы ФАПЧ широко используются при решении задач радиоприема. В первую очередь к ним относятся: подстройка гетеродина преобразователя частоты в супергетеродинных приемниках, выделение несущей частоты в радиолиниях передачи информации для осуществления когерентного и корреляционного приема, а также цветного и черно-белого телевидения, синхронизация приемного коммутатора каналов радиотелеметрических систем, демодуляции ЧМ- и ФМ-сигналов, измерение частоты с помощью узкополосных следящих фильтров, деление и умножение частоты и др. Такое широкое применение ФАПЧ только в технике радиоприема обусловливает необходимость сведения всех конкретных устройств, выполняющих перечисленные задачи, к типовой структурной схеме системы ФАПЧ, изображенной на рис. 10.1.

Основными элементами системы ФАПЧ являются: фазовый детектор (ФД), фильтр низкой частоты (ФНЧ), управляющий элемент (УЭ) и перестраиваемый (синхронизируемый) генератор (ПГ). На один вход ФД в общем случае поступает смесь полезного сигнала и_с (t) от генератора сигнала (ГС) и аддитивного шума и_ш (t) от генератора шума (ГШ). Здесь под "ш (/) понимается как внешний шум от радиоканала, так и внутренние шумы приемника.

Основное функциональное назначение системы ФАПЧ — отслеживание фазы входного сигнала и,. (/). Для этого на второй вход ФД подается напряжение ПГ и_г (t), а на выходе ФД получается напряжение ыфд (/), зависящее от разности фаз входной смеси и сигнала синхронизируемого генератора. Выходное напряже-

ние ФД фильтруется в ФНЧ с целью удаления шума и других ненужных частотных составляющих и воздействует на УЭ, который изменяет частоту ПГ, приводя ее в соответствие с частотой ГС. В отсутствие шумов в такой замкнутой следящей системе автоматического регулирования устанавливается стационарный режим, при котором частоты ГС и ПГ равны, а разность фаз этих напряжений постоянна. При этом обеспечивается синхронная работа этих двух генераторов, а следовательно, и слежение за фазой сигнала и_с (t).

Подчеркнем основное различие между системами ФАПЧ и ЧАПЧ (см. гл. 9). В системе ЧАПЧ слежение за частотой сигнала осуществляется путем формирования сигнала частотной ошибки между входным сигналом и выходным сигналом ПГ, а в системе ФАПЧ — путем детектирования фазовой ошибки мажду этими сигналами. Следовательно, в системе ФАПЧ отсутствует частотная расстройка между указанными сигналами, что является основным достоинством этой системы.

Режимы работы системы ФАПЧ.

В зависимости от разности средних частот ГС («со) ^и ПГ (со,₀) система ФАПЧ может находиться в различных режимах.

Допустим, что система ФАПЧ находится в режиме синхронизма, т.е. частоты обоих генераторов равны: со,, - о)_го. Если начать медленно изменять частоту со₀, то частота со,, будет следовать за нею. Подобный ре-

жим, при котором система ФАПЧ полностью компенсирует изменения частоты со₀, называется режимом удержания. Полосой удержания ДЙ_Уназывается такое значение разности частот w„ — о)_го, при котором происходит срыв слежения за частотой со₀, приводящий к потере синхронизма в системе ФАПЧ. Полоса удержания характеризует максимальный статический диапазон слежения (рис. 10.2) и определяется формулой

| AQ_y | /САС фнч( О), (10.1)

где К коэффициент передачи петли обратной связи; К фпч (0) — передаточная функция ФНЧ по постоянному току.

Когда начальная расстройка генераторов по частоте Д„ = со_ги — о)„ будет больше полосы удержания А12,, в системе ФАПЧ наступит режим биений, для которого характерно неравенство частот ПГ и ГС: со₁₀ Ф w₀. В этом режиме разность фаз обоих генераторов непрерывно возрастает, а напряжение «фд (/) на выходе ФД периодически изменяется. При этом длительности положительных и отрицательных полуволн напряжения биений оказываются разными, что приводит к появлению постоянной составляющей напряжения на выходе ФД, которая изменяет среднюю частоту биений по отношению к начальной расстройке генераторов Л„. В замкнутой системе ФАПЧ средняя частота биений меньше начальной расстройки генераторов Д„. Если же начальная расстройка увеличивается,

то средняя частота асимптотически стремится к А₀ (см. рис. 10.2). При Д„ = AQ_y средняя частота биений равна нулю, т. е. частоты ПГ и ГС становятся одинаковыми и система ФАПЧ переходит в режим захвата. Полосой захвата |ДЯ₃| (рис. 10.2) называется максимальная начальная расстройка генераторов Д„, при которой система ФАПЧ входит в синхронизм, т. е. в режим удержания. Практически полосу захвата определяют по моменту вхождения ГС и ПГ в синхронизм при изменении |Д₀ j от больших значений к малым.

Как следует из рис. 10.2, в замкнутой системе ФАПЧ может быть устойчивое и неустойчивое изменения разности частот Дсо = со₀ — со_гдвух генераторов. Устойчивое состояние наступает при изменении начальной расстройки |Д„| от большого значения к малому (сплошная линия), а неустойчивое — наоборот (пунктирная линия). Прямая линия соответствует разомкнутой системе ФАПЧ.

В системах ФАПЧ с реальным ФНЧ полоса захвата всегда меньше полосы удержания (см. рис. 10.2). Это объясняется тем, что любой ФНЧ вносит амплитудные и фазовые искажения. Завал частотной характеристики ФНЧ и временная задержка сигнала в нем приводят к уменьшению постоянной составляющей напряжения и_ф (t) на входе УЭ. Следовательно, повышается частота биений при той же начальной расстройке |Д₀| по сравнению с ФАПЧ первого порядка. Поэтому в системе с реальным ФНЧ частота биений стремится к нулю при |Д„|< |ДЙ_У|'.

Важной характеристикой системы ФАПЧ является время установления в ней указанных режимов работы. В системе ФАПЧ первого порядка время протекания переходных процессов после скачка частоты Д₀ определяется- только широкополосно-стью элементов системы: ФД,. усилителей (если они включаются) и временем запаздывания в них. Все эти элементы имеют малую инерционность, поэтому система ФАПЧ может

входить в синхронизм практически мгновенно. Наличие ФНЧ необходимо в системах, где возможно воздействие шумов или форма синхронизируемых колебаний отличается от гармонической. В этих случаях побочные управляющие воздействия, вырабатываемые ФД, действуя па УЭ, вызывают паразитные отклонения частоты и фазы ПГ. Фильтр служит для ослабления этих помеховых возмущений. Однако чрезмерное увеличение постоянной времени ФНЧ вызывает замедление процессов установления и сужает область втягивания системы ФАПЧ.

§ 10.2. Дифференциальное уравнение

типовой системы ФАПЧ

Обратимся к рис. 10.1 и выведем дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы ФАПЧ при воздействии шумов [29]. При выводе уравнения сделаем ряд допущений:

ФД заменен устройством, осуществляющим перемножение двух сигналов, т. е. имеющим косинусоидаль-ную нормированную характеристику F (ф) ■= cos ф, где ф — мгновенная разность фаз ГС и ПГ;

характеристика УЭ в пределах рабочего участка линейная;

единственным инерционным звеном системы ФАПЧ является ФНЧ, все остальные элементы системы — безынерционные;

аддитивный шум и_т (t) представляет собой нормальный случайный процесс с нулевым средним значением. Спектральная плотность симметрична относительно средней частоты ГС о,.,,.

На один вход ФД подается сумма сигнала и шума, которую можно записать в виде

"е (t) + «,„(/) с/₀С05Ф₍.(/) +

+ U_m (t) cos Ф_ш (t) - -. U_P cos [со, / +

+ e_r(/)i +u_m(t) х

X cos [«„Г 0_ш(/)|, (10.2)

где U_c постоянная амплитуда сиг нала; Ф_с (/), Ф_ш (t) — полные фаз сигнала и шума; 8_С (t), 9_Ш(/) — случайные фазы сигнала и шума.

На второй вход ФД подается сигнал от ПГ:

м,. (0 U, совФ, U)

t7_rcos[co_rrf 9_г(/)1, (10.3)

где U _г — постоянная амплитуда гетеродина; Ф_г (/), 9_Г (t) — полная и случайная фазы гетеродина соответственно.

Напряжение шума со средней частотой со₀, совпадающей с частотой сигнала, можно представить в виде двух квадратурных составляющих:

Uw (*)^V _m(t) cos[co₀/- е_п₁(01

=а_ш (/) cos Ф_с (t)-b_m(t) 5шФ₀(/), (10.4)

где а_ш (t) = U_m (t) cos [8_П1 (t) — - 8_С (01, b_lu(t) = U_m(t) siirX [6_Щ(/) — 9_C (/)] — косинусная и синусная составляющие огибающей шума соответственно.

Обе составляющие описывают независимые нормальные случайные процессы с нулевым средним значением и одинаковыми энергетическими спектрами NJ2, такими же, как энергетический спектр процесса и_ш (t), но смещенными в область низких частот, так что они центрированы около нулевой частоты.

Подставляя (10.4) в (10.2), получим

«_с (/) + и_ш (/) = (U_c + а_т (0) cos Ф„(0 -

-Ь_щ(()*тФ _са). (Ю. 5)

На выходе ФД, с учетом указанного допущения о наличии перемножающего устройства, используя выражения (10.3), (10.5), имеем

ЫфД (/) - Кф)Д [о₀ (t)+u_m (/)] и,. (/) ==

X [СОб (Ф_е(*) — Ф_г(0) + + С05 (Ф₍, (*)+Ф_Р(*))1 —

— U_rb_m (01»1п(Ф_в (/) -Ф_г(*)) +

sin (Ф₀ (t) 1 Ф_г (/))!}, (10.6)

где кфд — коэффициент преобразования ФД.

Напряжение на выходе ФНЧ связано с напряжением на его входе (выходным напряжением ФД «фд (t)) соотношением

и_ф«)=иф_ЛЦ)Н(р), (10.7)

где Н (р) — передаточная функция ФНЧ в операторной форме (р — d/dt).

ФНЧ отфильтровывает высокочастотные составляющие в (10.6), поэтому на его выходе имеем

(10.8) Здесь

Ф«)=Ф_в(/)-Ф_г(*) (Ю.9)

— мгновенная разность полных фаз ГС и ПГ.

Если цепь обратной связи между выходом ФНЧ и входом УЭ разомкнута, то можно предположить, что напряжение на входе УЭ равно нулю. При этом начальная расстройка по частоте между ПГ и ГС Д₀ —

— (о_го — со₀, где со_го — частота ПГ при разомкнутой цепи регулирования.

При замыкании цепи обратной связи мгновенная частота ПГ изменяется, так как появляется напряжение на входе УЭ ы_ф (t). В силу линейности характеристики УЭ новое значение частоты ПГ

со_г — (о_го соуэ- (10.10)

Здесь соуэ — мгновенная расстройка, создаваемая УЭ:

«уэ -5уэ"ф(') (10.11)

(5уэ [рад/(В-с)1 — крутизна характеристики УЭ).

Подставляя (10.11) в (10.10) с учетом (10.8), получим

^wr = w_r0 — Sy э"_ф (/) - w_r0 — 1

— ~Y Sy _э к_Фд H (p) U_r l(U_c + а_ш if)) x Xcoscp(r)- -b_w(f)sm<p(t)\. (10.12) 198

Мгновенное значение разности частот ГС и ПГ в операторной форме с учетом соотношений (10.9), (10.2), (10.3) и значения ш_г (10.12) приводит к следующему дифференциальному уравнению системы ФАПЧ при воздействии аддитивных шумов:

где if (/) = 6,. (г) — 6_С (/) — разность случайных фаз ПГ и ГС.

Правая часть уравнения (10.13) состоит из четырех слагаемых. Первые два слагаемых описывают процессы в системе ФАПЧ в отсутствие шумов и случайных фаз обоих сигналов. Тогда уравнение (10.13) можно записать в виде

РФ(0 + ЛЙ_УЯ (/>)cos<p(/)- Д„, (10.14)

где ДЙ_У = Sys Кф_Д U_rU_c/2 = = 5уэ t /фд _тах — полоса удержания, определяемая как максимально возможная расстройка, которую может компенсировать цепь управления; ^дф max = кфд U_rU_c/2~- максималь-ное значение напряжения на выходе ФД.

Уравнение (10.14) показывает, что в отсутствие шумов в замкнутой системе ФАПЧ алгебраическая сумма мгновенной разности частот двух генераторов /?ф и расстройки, вносимой УЭ, равна начальной расстройке генераторов Д₀. Как видно, дифференциальное уравнение (10.14) — нелинейное, а порядок его зависит от сложности передаточной функции ФНЧ Н (р). В настоящее время нет аналитических методов решения такого уравнения в общем виде.'

Точное решение возможно только в частном случае системы ФАПЧ с идеализированным ФНЧ \Н (р) 1|.

При этом уравнение (10.14) запишется в виде

(10.15)

С помощью этого дифференциального уравнения первого порядка можно построить фазовый портрет системы, где ее мгновенное динамическое состояние отображается в пространстве точкой, а с течением времени / — интегральной кривой (рис. 10.3). При dcp (t)/dt > 0 изображающая точка движется в сторону возрастания функции ср (/), так как производная положительна при увеличении самой функции, а при d<p (t)Idt <; 0 — в сторону уменьшения функции ф (t). В стационарном состоянии (с!ф (/)/d/ = 0) из (10.15) имеем Дй_усо5ф(/) = = Д₀, т. е. синхронный режим системы возможен лишь при условии Д₀ < ДО_у.

Допустим, что в начальный момент ф (0) — 2я к 4- л/2, где к —

0,1, 2,.... Тогда изображающая точка стремится двигаться по косину-соидальной траектории, пока не достигнет оси ф (/), и остается там в устойчивом состоянии. При этом разность фаз

Вблизи точки устойчивого равновесия величина dф (t)/dt не может стать отрицательной, так как тогда Ф (г) стремилась бы уменьшиться и вернуть изображающую точку к оси Ф(0-

Точками неустойчивости равновесия являются

Изменение начальных условий при фиксированных значениях Д₀ и Д<Ь_У приводит к тому, что с течением времени изображающая точка движется по 'интегральной кривой к фазам устойчивого равновесия <f'_Ui.

Решение дифференциального уравнения (10.15) позволяет определить полосу захвата \Q₃ системы ФАПЧ с

Рис. 10.3

идеализированным ФНЧ. Разделя переменные в (10.15) и- интегриру по dt, получим

где /₀ — постоянная интегриров; ния.

В результате интегрирования л вой части этого уравнения, после пр образований и при t -*■ оо можно о ределить установившуюся разнос фаз ф₀ ГС и ПГ:

или, учитывая тригонометр ческие преобразо вания tg ф₀/2

= V 1 — cos ф„/К 1 + cos фо, пол

чим окончательно cos ф₀ = — Д₀/ДЙ Из этого решения следует ряд bi водов.

При Д„ > Д £2_У в системе ФАП устанавливается режим биен! (рис. 10.4) со с редней частотой й_ср ==К'Д§ — Д0²_у. При этом траектор! изображающей точки никогда не п ресекает оси ф (г) и синхронизм i фазе никогда не достигается.

При Д₀ = Дй_у наступает Крит ческий режим, а при Д„ <Г Д £2_урежим захвата, т. е. синхронный г. жим с установившимся значена фазовой ошибки ф₀.

Таким образом, в системе ФАПЧ идеализированным ФНЧ полосы г

Рис. 10.4

хвата и удержания одинаковы. Особенностью системы ФАПЧ с идеализированным фильтром является отсутствие перескоков фазы (в отсутствие шумов) в процессе вхождения системы в синхронизм. Иначе говоря, фазовая ошибка ф₀ в процессе затягивания и захвата никогда не достигает значения 2л.

Перейдем к выводу дифференциальных уравнений и рассмотрению характеристик в фазовой плоскости для систем ФАПЧ с реальным фильтром. Пусть в качестве ФНЧ используется фильтр с передаточной функцией Н (р) (Тр -4- \)/р. Подставляя это значение в общее дифференциальное уравнение системы ФАПЧ при воздействии аддитивного шума (10.13), получим

Это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое не имеет решения в общем виде.

В отсутствие шума и случайных фазовых сдвигов ГС и ПГ уравнение (10.18) может быть преобразовано к виду

(10.19)

Это уравнение можно представить графически на плоскости (ф, ф) (рис. 10.5). Нетрудно выявить некоторые особенности этого представления. При больших расстройках по частоте |ф| между ГС и ПГ второе слагаемое в (10.19) становится малым и изображающая точка движется почти по синусоиде (траектории У, /' и 2, 2' на рис. 10.5). При этом точка пробегает траектории слева направо в верхней полуплоскости (ф > 0) и в противоположном направлении в нижней полуплоскости (ф < 0). Уравнение (10.19) — периодическое по ф с периодом 2л. Следовательно, достаточно иметь график физически наблюдаемой фазы, приведенной к интервалу [ л < <[ < я]. Конечные значения ф при ф я (кривые /, 2) являются начальными значениями для следующих, расположенных ниже (выше) траекторий (кривые /', 2'). Продолжая эти построения, можно считать, что система ФАПЧ будет проходить через последовательные периоды (протяженностью 2л) фазовой ошибки, что называется явлением перескоков фазы. При этом на выходе ФД возникает сигнал биений между ГС и ПГ (см. рис. К).4). Ввиду наличия ФНЧ система инерционна, поэтому с течением времени увеличивается затухание колебаний и в ка- кой-то момент времени значение |ф| окажется в зоне захвата |АЙ₃|. В этой области в системе уже нет перескоков фазы (кривые 3, 3'), фазовые и частотные ошибки уменьшаются, стремясь к значениям ср = О, Ф = (k + 1) л, и будет осуществлен захват фазы.

Отметим, что захват фазы может быть осуществлен и без перескоков (разы, что зависит от начальной расстройки. Траектория изображающей точки в этом случае называется критической. Условия ее существования показаны на рис. 10.6 в виде графика a dq>(/)/ а² \.,₀

до; ьи \щ) "Р" м = ^л- ^Зависи-

мость области захвата по частоте от величины а²/Дй_у показывает, что при увеличении значения последней область захвата расширяется. При a ,4AQ_r -*■ 0, что эквивалентно идеальному фильтру (а -= 0), значение функции ф_да — 1, т. е. система всегда захвачена по частоте.

Далее обратим внимание на точки устойчивого и неустойчивого равновесия. Из (10.19) следует, что при ф =0, ф = (2k 4- 1) л/2 второе слагаемое неопределенно (%). При четных значениях k (включая k — 0) точки являются устойчивыми и система осуществляет захват фазы, а при нечетных k — неустойчивыми.

Использование в системе ФАПЧ рассмотренного ФНЧ, состоящего из идеального интегратора и форсирующего звена, обеспечивает достаточное усиление в петле, поэтому при сколь угодно малой постоянной составляющей биений обязательно произойдет затягивание системы и наступит синхронный режим. Время захвата системой с описанным ФНЧ

Если начальная расстройка Д₀ > > AQ_y, то время захвата окажется недопустимо большим. Для уменьшения времени захвата в ФНЧ необходимо использовать неидеальный инте-

Рис. 10.6

гратор, например типа // (р) = = (Тур + 1)/(7> + 1). При этом время захвата

В заключение отметим, что выше на примере реального фильтра был показан графический метод нахождения решения нелинейного дифференциального уравнения (10.19) для системы ФАПЧ. Указанный метод может быть распространен на случай использования произвольного реального ФНЧ. Полученное дифференциальное уравнение надо свести к виду (10.19) и решать его на плоскости (ф, ф) с помощью ЭВМ. Это наиболее точный и быстрый путь нахождения характеристик системы ФАПЧ.

§ 10.3. Статистические характеристики системы ФАПЧ и ее модели

В этом параграфе проанализируем работу системы ФАПЧ при воздействии шумов (помех), опираясь на полученные в § Ю.2 дифференциальные уравнения системы. Нелинейный характер исходного дифференциального уравнения (10.13) имеет вид ф(/) —

= F [ф (0, I (01- ³Д^есь I (0 - ^ста_ционарный нормальный процесс, а ф (t) является приближенно непрерывным марковским процессом, если время корреляции т^ случайного воздействия | (t) намного меньше постоянной времени системы ФАПЧ, т. е. система должна быть инерционной. На практике это условие для широкополосных входных шумов обычно выполняется (ширина спект-

ра шума существенно больше полосы удержания ФАПЧ: ДЙ_Ш > AQ_y).

Рассмотрим воздействие шума на систему ФАПЧ с идеализированным фильтром. Подставляя условие Я(р) = 1 в (10.13), получим [29]

X sin ф (/)) + рф (/) — фиктивный нормальный белый шум со статистическими характеристиками <|(^)> = = 0, < | (/) t(t + т) > = N12 б (т); N — спектральная плотность этого шума.

Уравнение (10.20) можно рассматривать как априорное стохастическое дифференциальное уравнение марковского процесса ф (t). Поскольку в правую часть этого уравнения входит случайная функция % (t), решить его можно только в рамках статистической теории.

Для полного описания случайного процесса ф (t) необходимо ввести плотность вероятности р (ф, г) угла Ф в момент t после начала воздействия

внешних сил и при начальном условии Ф == Фо, г = 0. Следовательно, начальная плотность вероятности р (ф, 0) = б (ф — ф₀). С течением времени из-за действия шума функция р (ф, t_x) будет «расплываться», а по истечении большого промежутка времени р (ф, /₂) примет вид многомодальной функции (рис. 10.7), причем каждая мода будет располагаться в точках устойчивого равновесия (10.16). При этом сохраняется ус-

ловие J' р (ф, i) dtp = 1 для всех зна-

чений t. Когда начальная расстройка А₀ = 0, функция р (ф, t) будет симметричной для положительных и отрицательных устойчивых состояний. Если Д₀ Ф 0, то функция р (ф, /) становится несимметричной: при А₀ > 0 увеличиваются моды для положительных значений ф+_й и уменьшаются для отрицательных значений ф!_в, при А„ <с 0—наоборот [29].