Приклад 1. Куля масою 9 г, швидкість якої 600 м/с, попадає в дерев'яну стінку й застрягає в ній. Знайти середню силу удару й імпульс, отриманий стінкою, якщо час зіткнення 10 мс.
Дано:
m = 9 г = 9×10-3 кг
= 600 м/с
Dt = 10 мс = 10×10-3 с
___________________
<F > –?
pс –?
Розв’язання. Відповідно до закону збереження імпульсу для довільної замкнутої системи тіл сумарний імпульс системи з часом не змінюється. Це означає, що
Куля до удару мала імпульс m 
. Оскільки удар непружний, то цей імпульс буде повністю переданий стінці
p с = m ,
де Dpс – зміна імпульсу стінки;
m – зміна імпульсу кулі.
За другим законом Ньютона для середніх значень маємо
<F>Dt = Dpc = m .
Звідки середня сила удару кулі < Fc > дорівнює
< F> = 
.
Проведемо необхідні розрахунки:
рс = m = 9×10-3×600 = 5,4 кг×м/с;
<F> = 
Н.
При цьому сила < Fc> спрямована вздовж вектора початкової швидкості кулі, яку вона мала перед ударом.
Приклад 2. У кузов візка з піском загальною масою 40 кг, що рухається горизонтально зі швидкістю 5 м/с, попадає камінь масою 10 кг і застрягає в піску. Знайти швидкість візка після зіткнення з каменем, якщо камінь перед попаданням у візок летів зі швидкістю 5 м/с під кутом 60о до горизонту назустріч візку. Сили зовнішнього опору руху візка не враховувати.
Дано:
M = 40 кг
1= 5 м/с
m = 10 кг
2 = 5 м/с
a = 60о
_______________
u –?
Розв’язання. Оскільки силами опору в задачі можна знехтувати, то для такого руху система є замкнутою й для цієї системи тіл виконується закон збереження імпульсу (точніше, закон збереження горизонтальної складової імпульсу).
Запишемо закон збереження імпульсу в напрямі руху візка
де M – маса візка з піском;
m – маса каменя;
– швидкість візка;
– горизонтальна складова швидкості каменя;
u – швидкість візка і каменя після непружної взаємодії.
Звідки одержуємо
Динаміка твердого тіла
Основні формули
1. Основне рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі
,
де 
– результуючий момент всіх діючих сил;
– вектор моменту імпульсу тіла.
Вектор моменту імпульсу тіла дорівнює
,
де r – радіус-вектор;
mυ – імпульс тіла.
У випадку постійного моменту інерції
,
де 
– кутове прискорення;
І – момент інерції тіла (міра інертності тіла при обертальному русі).
2. Момент імпульсу тіла, що обертається відносно осі
.
3. Момент сили F, що діє на тіло відносно осі обертання
,
де l – плече сили – найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили.
4. Момент інерції матеріальної точки відносно нерухомої осі обертання
,
де m – маса точки;
r – відстань від точки до осі обертання.
Момент інерції довільного твердого тіла
де ri – відстань елемента маси ∆mi від осі обертання.
Це ж співвідношення в інтегральній формі (для тіл правильної геометричної форми)
.
Якщо тіло однорідне, тобто його густина ρ однакова по всьому об’єму, то
і 
,
де V – об’єм тіла.
Теорема Штейнера. Момент інерції твердого тіла або матеріальної точки відносно довільної осі обертання, але обов’язково паралельній до осі, що проходить через центр мас тіла, дорівнює
,
де І0 – момент інерції цього тіла відносно осі, що проходить через центр мас тіла;
a – відстань між паралельними осями;
m – маса тіла.
5. Закон збереження моменту імпульсу
.
Моменти інерції найпростіших тіл показані в таблиці 1:
| Тіло | Вісь, відносно якої визначається момент інер ції тіла | Формула моменту інерції тіла |
| Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l | Проходить через центр тяжіння стрижня перпендикулярно до нього |
|
| Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l | Проходить через кінець стрижня перпендикулярно до нього |
І = 
|
| Тонке кільце, обруч, труба радіусом R і масою m, маховик радіусом R і масою m | Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи | І = mR2 |
| Круглий однорідний диск (циліндр) радіусом R і масою m | Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи | І = 
|
| Однорідна куля масою m і радіусом R | Проходить через центр кулі | І = 
|
Таблиця 1
Для двох взаємодіючих тіл закон збереження моменту імпульсу записується так:
,
де І1, І2 , 
1, 2 – моменти інерції і кутові швидкості тіл до взаємодії;
, 
, 
, 
– ті самі величини після взаємодії.
Закон збереження моменту імпульсу для одного тіла із змінним моментом інерції
де І1і І2 – початковий і кінцевий моменти інерції;
і 
– початкова і кінцева кутові швидкості тіла.
6. Робота постійного моменту сили М, що діє на тіло, яке здійснює обертання
де 
– кут повороту тіла.
7. Миттєва потужність, яка розвивається при обертанні тіла,
.
8. Кінетична енергія тіла, яке здійснює обертальний рух
9. Кінетична енергія тіла, яке котиться без ковзання вздовж будь-якої площини
де 
– кінетична енергія поступального руху тіла;
– швидкість руху центра інерції тіла;
– кінетична енергія обертального руху тіла навколо осі, що проходить через центр інерції.
10. Зв’язок між роботою, яка виконується при обертанні тіла і зміною кінетичної енергії
.
11. Зв’язок між фізичними величинами і формулами, які характеризують поступальний і обертальний рух в найпростіших випадках, показаний в таблиці 2:
Таблиця 2
| Поступальний рух | Обертальний рух | |
| Основний закон динаміки | ||
| = 
| |
| = І 
| |
| Закони збереження | ||
| імпульсу | моменту імпульсу | |
| 
| |
| Робота і потужність | ||
| A = Fs | A=M
| |
| 
| |
| Кінетична енергія | ||
| 
| |
Продовження таблиці 2
