Приклади розв’язання задач. Приклад 1. Куля масою 9 г, швидкість якої 600 м/с, попадає в дерев'яну стінку й застрягає в ній

 

Приклад 1. Куля масою 9 г, швидкість якої 600 м/с, попадає в дерев'яну стінку й застрягає в ній. Знайти середню силу удару й імпульс, отриманий стінкою, якщо час зіткнення 10 мс.

Дано:

m = 9 г = 9×10^{-3 кг}

= 600 м/с

Dt = 10 мс = 10×10^-3 с

___________________

<F > –?

p_с –?

Розв’язання. Відповідно до закону збереження імпульсу для довільної замкнутої системи тіл сумарний імпульс системи з часом не змінюється. Це означає, що

Куля до удару мала імпульс m . Оскільки удар непружний, то цей імпульс буде повністю переданий стінці

 

p _с = m ,

де Dp_с – зміна імпульсу стінки;

m – зміна імпульсу кулі.

За другим законом Ньютона для середніх значень маємо

 

<F>Dt = Dp_c = m .

 

Звідки середня сила удару кулі < F_c > дорівнює

 

< F> = .

Проведемо необхідні розрахунки:

 

р_с = m = 9×10^-3×600 = 5,4 кг×м/с;

<F> = Н.

При цьому сила < F_c> спрямована вздовж вектора початкової швидкості кулі, яку вона мала перед ударом.

 

Приклад 2. У кузов візка з піском загальною масою 40 кг, що рухається горизонтально зі швидкістю 5 м/с, попадає камінь масою 10 кг і застрягає в піску. Знайти швидкість візка після зіткнення з каменем, якщо камінь перед попаданням у візок летів зі швидкістю 5 м/с під кутом 60^о до горизонту назустріч візку. Сили зовнішнього опору руху візка не враховувати.

Дано:

M = 40 кг

₁= 5 м/с

m = 10 кг

₂ = 5 м/с

a = 60^о

^{_______________}

u –?

Розв’язання. Оскільки силами опору в задачі можна знехтувати, то для такого руху система є замкнутою й для цієї системи тіл виконується закон збереження імпульсу (точніше, закон збереження горизонтальної складової імпульсу).

Запишемо закон збереження імпульсу в напрямі руху візка

 

 

де M – маса візка з піском;

m – маса каменя;

– швидкість візка;

– горизонтальна складова швидкості каменя;

u – швидкість візка і каменя після непружної взаємодії.

 

Звідки одержуємо

 

Динаміка твердого тіла

Основні формули

1. Основне рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі

,

 

де – результуючий момент всіх діючих сил;

– вектор моменту імпульсу тіла.

Вектор моменту імпульсу тіла дорівнює

 

,

де r – радіус-вектор;

mυ – імпульс тіла.

У випадку постійного моменту інерції

,

 

де – кутове прискорення;

І – момент інерції тіла (міра інертності тіла при обертальному русі).

2. Момент імпульсу тіла, що обертається відносно осі

.

3. Момент сили F, що діє на тіло відносно осі обертання

 

,

де l – плече сили – найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили.

4. Момент інерції матеріальної точки відносно нерухомої осі обертання

,

 

де m – маса точки;

r – відстань від точки до осі обертання.

Момент інерції довільного твердого тіла

де r_i – відстань елемента маси ∆m_i від осі обертання.

Це ж співвідношення в інтегральній формі (для тіл правильної геометричної форми)

.

Якщо тіло однорідне, тобто його густина ρ однакова по всьому об’єму, то

і ,

де V – об’єм тіла.

 

Теорема Штейнера. Момент інерції твердого тіла або матеріальної точки відносно довільної осі обертання, але обов’язково паралельній до осі, що проходить через центр мас тіла, дорівнює

,

 

де І₀ – момент інерції цього тіла відносно осі, що проходить через центр мас тіла;

a – відстань між паралельними осями;

m – маса тіла.

5. Закон збереження моменту імпульсу

.

 

Моменти інерції найпростіших тіл показані в таблиці 1:

 

Тіло	Вісь, відносно якої визначається момент інер ції тіла	Формула моменту інерції тіла
Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l	Проходить через центр тяжіння стрижня перпендикулярно до нього
Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l	Проходить через кінець стрижня перпендикулярно до нього	І =
Тонке кільце, обруч, труба радіусом R і масою m, маховик радіусом R і масою m	Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи	І = mR2
Круглий однорідний диск (циліндр) радіусом R і масою m	Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи	І =
Однорідна куля масою m і радіусом R	Проходить через центр кулі	І =

Таблиця 1

Для двох взаємодіючих тіл закон збереження моменту імпульсу записується так:

,

 

де І₁, І₂ , ₁, ₂ – моменти інерції і кутові швидкості тіл до взаємодії;

, , , – ті самі величини після взаємодії.

 

Закон збереження моменту імпульсу для одного тіла із змінним моментом інерції

 

де І₁і І₂ – початковий і кінцевий моменти інерції;

і – початкова і кінцева кутові швидкості тіла.

 

6. Робота постійного моменту сили М, що діє на тіло, яке здійснює обертання

 

де – кут повороту тіла.

7. Миттєва потужність, яка розвивається при обертанні тіла,

 

.

 

8. Кінетична енергія тіла, яке здійснює обертальний рух

9. Кінетична енергія тіла, яке котиться без ковзання вздовж будь-якої площини

де – кінетична енергія поступального руху тіла;

– швидкість руху центра інерції тіла;

– кінетична енергія обертального руху тіла навколо осі, що проходить через центр інерції.

 

10. Зв’язок між роботою, яка виконується при обертанні тіла і зміною кінетичної енергії

.

11. Зв’язок між фізичними величинами і формулами, які характеризують поступальний і обертальний рух в найпростіших випадках, показаний в таблиці 2:

Таблиця 2

Поступальний рух	Обертальний рух
Основний закон динаміки
	=
	= І

 

Закони збереження
імпульсу	моменту імпульсу
Робота і потужність
A = Fs	A=M
Кінетична енергія

Продовження таблиці 2