Приклад 1. Куля масою 1кг, рухаючись горизонтально, зіштовхується з нерухомою кулею масою 12 кг. Кулі абсолютно пружні, удар прямий, центральний. Яку частину своєї кінетичної енергії перша куля передала другій?
Дано:
m1 = 1 кг
m2 = 12 кг
2 = 0
Удар пружний
____________
Е = 
–?
Розв’язання. При абсолютно пружному центральному зіткненні виконуються закони збереження імпульсу й енергії. Тому з урахуванням того, що друга куля до зіткнення була нерухома, одержуємо два рівняння
m1 1 = m1 u1 + m2 u2 ,
, (1)
де 1 – швидкість першої кулі до удару;
u1 й u2 – швидкості першої й другої куль після удару.
При цьому із закону збереження імпульсу треба враховувати, що після удару перша й друга кулі рухаються уздовж прямої, по якій рухалася перша куля до удару.
Частина енергії, передана першою кулею другій, визначається співвідношенням
, (2)
де Кk1 – кінетична енергія першої кулі до удару;
Кk2 – кінетична енергія другої кулі після удару.
Розв’язавши систему (1), одержуємо
.
Підставивши u2 у формулу (2) і скоротивши на 1 і m1, знаходимо
. (3)
Співвідношення (3) симетричне відносно мас куль m1 і m2, тому частина переданої енергії не зміниться, якщо маси куль поміняти місцями.
Підставляючи у вираз (3) числові значення m1 і m2, одержимо
.
Приклад 2. З похилої площини висотою 1м і довжиною 10 м зсувається тіло масою 1 кг (рис.1). Знайти:
а) кінетичну енергію тіла біля основи похилої площини;
б) швидкість тіла біля основи похилої площини. Коефіцієнт тертя на всьому шляху вважати постійним і рівним 0,05.
Дано:
h = 1 м
l = 10 м
m =1 кг
f = 0,05
_________
E к –? –? Рисунок 1
Роз’язання. Потенціальна енергія тіла при зсуванні з похилої площини переходить у кінетичну енергію й роботу проти сили тертя
mgh = 
. (1)
Але h = l sin 
, де – кут нахилу похилої площини.
Fтр.= f mg cosa.
1. Кінетичну енергію тіла знайдемо з (1)
Кk= 
,
де sin = h / l = 0,1 й cos = 0,995.
Підставляючи чисельні значення, одержуємо Кk = 4,9 Дж.
2. Швидкість тіла одержимо з формули кінетичної енергії
= 
.
Приклад 3. При вертикальному підніманні вантажу масою 4 кг на висоту 9 м постійною силою була виконана робота 80Дж. З яким прискоренням піднімали вантаж?
Дано:
m = 4 кг
h = 2 м
A = 80 Дж
_________
a –?
Розв’язання. Зовнішні сили виконують роботу, яка йде на збільшення потенціальної енергії вантажу й на надання йому прискорення
A = mgh + mah.
Звідси
a = 
.
Підставляючи чисельні значення, одержуємо
a = 
.
Приклад 4. Сталева пружина під дією сили 300 Н видовжується на 2 см. Яку потенціальну енергією буде мати ця пружина при її видовженні на 10 см?
Дано:
F1 = 300 H
x1 = 2 см = 
м
x2 = 10 см = 10-1 м
__________________
En –?
Розв’язання. Потенціальна енергія розтягнутої пружини дорівнює
Пn = 
. (1)
При цьому коефіцієнт жорсткості пружини можна визначити із закону Гука
F = kx,
де F – величина зовнішньої сили. Звідси одержуємо
k = F/x = F1 / x1 . (2)
Якщо вираз (2) підставити в (1), одержуємо
Пn = 
.
Підставляючи чисельні значення сили й деформацій, знаходимо
П n = 
Дж.
Приклад 5. Стрижень довжиною 1,5 м і масою 10 кг може обертатися навколо нерухомої осі, яка проходить через верхній кінець стрижня (рис.2). У нижній кінець стрижня вдаряє куля масою 10 г, що летить у горизонтальному напрямі зі швидкістю 500 м/с, і застрягає в ньому. На який кут відхилиться стрижень після удару?
Дано:
l = 1,5 м Рисунок 2
M = 10 кг
m = 10 г = 10.10-3 кг
–?
Розв’язання. Оскільки удар кулі в нижній кінець стрижня непружний, то після удару точки нижнього кінця стрижня і кулі будуть рухатися з однаковими швидкостями.
Розглянемо детальніше явища, які відбуваються при ударі. Спочатку куля, вдарившись об стрижень, за достатньо малий проміжок часу приводить його в рух з кутовою швидкістю 
і надає йому кінетичну енергію К
К = 
, (1)
де I – момент інерції стрижня відносно осі обертання.
Потім стрижень повертається на кут , причому центр мас піднімається на висоту h = 
.
У відхиленому положенні стрижень буде мати потенціальну енергію
П п = 
. (2)
Потенціальна енергія стрижня зростає за рахунок зменшення його початкової кінетичної енергії, а тому за законом збереження енергії вони рівні. Прирівнявши праві частини рівності (1) і (2), одержимо
= .
Звідки
(3)
Момент інерції стрижня відносно осі обертання, яка проходить через кінець стрижня, можна знайти за теоремою Штейнера
I = I0 + M 
= 
M l2 + 
M l2 = 
M l2 .
Значення моменту інерції підставимо в (3), одержимо
cos = 1 - 
. (4)
Щоб з виразу (4) знайти , необхідно попередньо визначити значення . У момент удару на кулю й на стрижень діють сили тяжіння, лінії дії яких проходять через вісь обертання й спрямовані вертикально вниз. Моменти цих сил відносно осі обертання дорівнюють нулю. Тому при ударі кулі об стрижень буде справедливо використати закон збереження моменту імпульсу.
У початковий момент часу кутова швидкість стрижня w0 = 0, тому його момент імпульсу L01 = Iw0 = 0. Куля вдаряється в кінець стрижня й в міру заглиблення в стрижень, надає йому кутового прискорення та бере участь в обертанні стрижня навколо закріпленої осі. Момент імпульсу кулі перед початком удару
L02 = m 
l,
де l – відстань точки влучення кулі від осі обертання стрижня.
У кінцевий момент удару стрижень мав кутову швидкість , а куля – лінійну швидкість , рівну лінійній швидкості точок стрижня, які перебувають на відстані l від осі обертання. Оскільки = l, то кінцевий момент імпульс кулі дорівнює
L2 = m l = ml2w.
Застосувавши закон збереження моменту імпульсу, можна записати
L01 + L02 = L1 + L2 або mυ0 l = Iw + ml2 ,
звідки
(5)
Виконавши обчислення за формулою (5), а потім за формулою (4), знайдемо w = 0,99 рад/c; cosj = 0,95; j = 18,19o.
Приклад 6. Диск діаметром 20 см і масою 2 кг обертається навколо осі, яка проходить через його центр. Кут повороту диска змінюється з часом за законом j = А + Вt + Ct2, де C = -2 рад/c2. Визначити величину гальмівної сили, прикладеної до обода диска.
Дано:
D = 20 см = 0,2 м
m = 2 кг
j = А + Вt + Ct2
C = -2 рад/с2
____________________
Fг –?
Розв’язання. Плече гальмівної сили відоме. У цьому випадку воно дорівнює радіусу диска R. Тому гальмівну силу, прикладену до обода, можна знайти зі співвідношення
Fг = M / R.
Гальмівний момент М може бути розрахований з основного рівняння динаміки обертального руху М = І 
, якщо будуть визначені кутове прискорення (у цьому випадку сповільнення) і момент інерції диска I.
Для розрахунку цих двох величин є всі необхідні дані:
b = 
= 2 C; I = 
– момент інерції диска.
Таким чином результуюча формула має вигляд
F = 
= 
.
Провівши необхідні розрахунки, одержимо
F = -2(1/2) рад/c2 × 2 кг × 0,2 м = - 0,4 Н.
Приклад 7. Вал у вигляді суцільного циліндра масою 10 кг насаджений на горизонтальну вісь. На вал намотаний шнур, до вільного кінця якого підвішена гиря масою 2 кг (рис.3). З яким прискоренням буде опускатися гиря, якщо її відпустити?
Дано:
m1 = 10 кг
m2 = 2 кг
__________
a –?
Розв’язання. Лінійне прискорення a гирі дорівнює тангенціальному прискоренню точок вала, які лежать на його циліндричній поверхні, і пов'язане з кутовим прискоренням вала співвідношенням
a = r, (1)
де r – радіус вала.
Кутове прискорення вала визначається з основного рівняння динаміки обертального руху тіла
Рисунок 3
= M / I, (2)
де M – обертальний момент, що діє на вал;
I – момент інерції вала.
Розглядаємо вал як однорідний циліндр (диск). Тоді його момент інерції відносно геометричної осі буде дорівнювати
I = 
m1 r2.
Обертальний момент M, який діє на вал, дорівнює добутку сили натягу шнура T на радіус вала
M = T r.
Силу натягу шнура знайдемо з таких міркувань. На гирю діють дві сили: сила тяжіння m2g, спрямована вниз, і сила T натягу шнура, спрямована вверх. Рівнодіюча цих сил викликає рівноприскорений рух гирі. За другим законом Ньютона
m2 g – T = m2 a,
звідки
T= m2 (g – a).
Таким чином обертальний момент сил дорівнює
M = m2 (g – a) r.
Підставивши у формулу (2) отримані значення M і I, знайдемо кутове прискорення вала
.
Для визначення лінійного прискорення гирі підставимо цей вираз у формулу (1), одержимо
,
звідки
Гідростатика
Основні формули
1. Витрата рідини в трубці, через яку вона тече:
а) об’ємна витрата рідини QV = S;
б) масова витрата рідини Qm = 
S,
де S – площа перерізу трубки;
– швидкість протікання рідини;
– густина рідини в трубці.
2. Рівняння нерозривності струменя
3. Рівняння Бернуллі для ідеальної нестисливої рідини в загальному випадку
,
де р1 і р2 – статичні тиски у двох умовно виділених перерізах трубки;
і 
– швидкості рідини в цих перерізах;
і 
– динамічні тиски рідини в цих самих перерізах;
h1 і h2 – їх висота над деяким рівнем, прийнятим умовно за нульовий;
gh1 і gh2 – гідростатичні тиски.
Якщо обидва перерізи розміщені на одній висоті, рівняння Бернуллі буде мати такий вигляд:
.
4. Швидкість витікання рідини з малого отвору у відкритій широкій посудині
,
де h – глибина, на якій міститься отвір відносно верхнього рівня рідини в посудині.
5. Формула Пуазейля. Об’єм рідини або газу, що протікає за час t через довгу трубку, дорівнює
,
де r– радіус трубки;
l – її довжина;
– різниця тисків на кінцях трубки;
– динамічна в’язкість (коефіцієнт внутрішнього тертя) рідини.
6. Число Рейнольдса для потоку рідини в довгих трубках
,
і для руху кульки в рідині
,
де < > – середня швидкість протікання рідини;
– швидкість кульки;
d – діаметр трубки або діаметр кульки.
Якщо Re<<Re кр –течія рідини ламінарна; Re>>Re кр –рух рідини переходить у турбулентний,
де Re кр –критичне число Рейнольдса; (для руху кульки в рідині Re кр = 0,5; для потоку рідини Re кр = 2300).
7. Формула Стокса. Сила опору F, що діє з боку рідини на кульку, яка повільно рухається в ній, дорівнює
,
де r – радіус кульки;
υ – швидкість руху кульки.
Формула Стокса справедлива для швидкостей при яких Re<<1.
Задачі
1. Прямолінійний рух матеріальної точки описується рівнянням 
. Знайти екстремальне значення швидкості точки 1 та момент часу t1 від початку руху, коли ця швидкість стає екстремальною.У який момент часу t2 швидкість 2 = 0?
Відповідь: 
t1 = 5,3 c; t2 = 10,66 c.
2. Рівняння руху двох матеріальних точок вздовж прямої лінії, мають вигляд: 
, де B1 = 12 м/с, 
і 
, де B2 = 2 м/с, 
. У який момент часу швидкості цих точок будуть однаковими? Чому дорівнюють швидкості і прискорення точок у цей момент часу?
Відповідь: t = 1,1 c; 
= 3,11 м/с; а1 = -8 м/с2; 
= 3,11 м/с; а2 =1 м/с2.
3. Рівняння руху точки вздовж прямої лінії має вигляд: 
, де А = 6 м/с і 
. Визначити силу, яка діє на точку в момент часу t = 2 с. Маса точки m = 0,2 кг.
Відповідь: F = 0,3 Н.
4. Визначити повне прискорення точки на ободі колеса радіусом 0,5 м, в момент часу t = 3с. Рівняння обертання колеса: 
де А = 2 рад/c, B = 0,2 рад/c³.
Відповідь: а = 27,44 м/с2.
5. Точка рухається по колу радіусом 8 м. У деякий момент часу нормальне прискорення точки дорівнює 4м/c², вектор повного прискорення утворює у цей момент із вектором нормального прискорення кут 60o. Знайти швидкість і тангенціальне прискорення aτ точки.
Відповідь: 
= 5,65 м/с; 
.
6. Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння руху має вигляд: 
, де А = 3 м/с, B = 0,06 м/c³. Знайти швидкість і прискорення точки в моменти часу t1 = 0 і t2 = 3с. Яке середнє значення швидкості за перші 3 с?
Відповідь: = 3м/с; а1 = 0; 
а = 1,08 м/с2; 
.
7. Швидкість частинки, яка рухається прямолінійно, змінюється за законом 
, де А=12м/с і B=2м/c². Знайти: а) екстремальне значення швидкості частинки; б) координату х частинки для цього ж моменту часу, якщо в момент t = 0, х0 = 0.
Відповідь: υе = 18м/с; х = 36.
8. Рівняння руху матеріальної точки вздовж прямої має вигляд: 
, де А = 4 м, В = 2 м/с, С = - 5 м/c². Знайти момент часу, в який швидкість точки = 0. Чому дорівнює координата х і прискорення а точки в цей момент часу?
Відповідь: t = 0,2 c; x = 4,2 м; a = -10 м/с2.
9. Частинка рухається по прямій за законом 
, де А = 3м, В = 2,5 м/с, С = 0,25 м/c³. Знайти середні значення швидкості і прискорення в інтервалі часу від t1 = 1c до t2 = 6c.
Відповідь: 
; аср . = 5,25 м/с2.
10. Частинка рухається прямолінійно з прискоренням а = 2В, де B = - 0,5 м/c². У момент часу t = 0 координата частинки x0 = 0, швидкість 0 = A, де А = 2 м/с. Знайти: а) швидкість частинки в кінці третьої секунди; б) координату частинки через 3с після початку руху; в) шлях, пройдений частинкою за цей час.
Відповідь: υ = -1 м/с; х = 1,5 м; S = 1,5м.
11. Точка рухалася впродовж t1=15c зі швидкістю υ1 = 5м/с, t2 = 10c зі швидкістю υ2 = 8м/с і t3 = 6 с зі швидкістю υ3 =20м/c. Яка середня шляхова швидкість 
точки?
Відповідь: = 8,87 м/с.
12. Рівняння прямолінійного руху має вигляд x = At + Вt2, де А = 4 м/с; В = -0,05м/с2. Побудувати графіки залежності координати й шляху від часу для даного руху.
13. Камінь падає з висоти h = 1200 м. Який шлях s пройде камінь за останню секунду свого падіння?
Відповідь: s = 150 м.
14. Тіло зсувається з похилої площини, яка утворює кут 45o з горизонтом. Пройшовши шлях 36,4 см, тіло набуває швидкості 2 м/с. Чому дорівнює коефіцієнт тертя тіла об площину.
Відповідь: μ = 0,2.
15. Тіло зсувається з похилої площини, яка утворює кут 45o з горизонтом. Залежність пройденого тілом шляху від часу задається рівнянням: 
. Знайти коефіцієнт тертя тіла об площину.
Відповідь: μ = 0,51.
16. Похила площина довжиною 2м утворює кут 25o з площиною горизонту. Тіло, рухаючись рівноприскорено, зсувається з цієї площини за час 2 с. Визначити коефіцієнт тертя тіла об площину.
Відповідь: μ = 0,35.
17. Схил крижаної гори направлений під кутом 30o до горизонту. Рухаючись по схилу знизу вверх, тіло в деякій точці має швидкість 10 м/с. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Яку швидкість буде мати це тіло після його повернення в початкове положення?
Відповідь: υ = 8,4 м/с.
18. У вагоні, що рухається горизонтально та прямолінійно з прискоренням a = 2 м/c2, висить на шнурі вантаж масою m = 0,2 кг. Знайти силу натягу шнура і кут відхилення шнура від вертикалі.
Відповідь: Fн = 2,04 Н; φ = 11,3о.
19. Під час руху автомобіля масою 103 кг на нього діє сила тертя, яка дорівнює 0,1 його сили тяжіння. Яку силу тяги має розвивати двигун автомобіля, увипадках: а) рівномірного руху; б) руху з прискоренням а = 2,4 м/c²?
Відповідь: F1 = 1000 H; F2 = 3400 H.
20. Тіло зсуваєтся з похилої площини, кут нахилу якої α = 30o. У деякій точці В швидкість тіла 1 = 0,14 м/c, а в точці С, що знаходиться нижче точки В, швидкість тіла 2 = 2,57 м/c. Коефіцієнт тертя тіла об площину μ = 0,1. Скільки часу тіло рухається від точки В в точку С.
Відповідь: t = 0,59 c.
21. Диск обертається з кутовим прискоренням 
ε = -2 рад/с2. Скільки оборотів N виконає диск при зміні частоти обертання від n1 = 240 хв-1 до n2 = 90 хв-1? Визначити також час 
, протягом якого це відбудеться.
Відповідь: 7,85 с.
22. До пружинних терезів підвішений блок. Через блок перекинутий шнур, до кінців якого прив'язані тягарці масами m1 = 1,5 кг і m2 = 3 кг. Які будуть покази терезів під час руху тягарців? Масою блока та шнура знехтувати.
Відповідь: F = 39,2 Н.
23. Кулька масою т = 300 г ударяється об стіну й відскакує від неї. Визначити імпульс р1, отриманий стіною, якщо в останній момент перед ударом кулька мала швидкість υпро = 10 м/с, спрямовану під кутом а = 30° до поверхні стіни. Удар вважати абсолютно пружним.
Відповідь: р1 = 3 Н.с.
24. Катер масою т = 2 т із двигуном потужністю N = 50 кВт розвиває максимальну швидкість υтах = 25 м/с. Визначити час t, впродовж якого катер після вимикання двигуна втратить половину своєї швидкості.
Відповідь: t = 25 с.
25. Снаряд масою т = 10кг, випущений із зенітної гармати вертикально вгору зі швидкістю υо= 800 м/с. Вважаючи силу опору повітря пропорційною швидкості, визначити час t піднімання снаряда до найвищої точки. Коефіцієнт опору k = 0,25 кг/с.
Відповідь: t = 44,5 с.
26. З гелікоптера, що нерухомо висить на деякій висоті над поверхнею Землі, скинутий вантаж масою т = 100 кг. Вважаючи, що сила опору повітря змінюється пропорційно швидкості, визначити, через який проміжок часу 
t прискорення а вантажу буде дорівнювати половині прискорення вільного падіння. Коефіцієнт опору k = 10 кг/с.
Відповідь: t = 6,93 с.
27. Катер масою т = 400 кг починає рухатися по озеру. Сила тяги F двигуна катера дорівнює 0,2 кН. Вважаючи силу опору Fо пропорційною швидкості, визначити швидкість 
катера через t = 20 с після початку його руху. Коефіцієнт опору k = 20 кг/с.
Відповідь: = 6,3 м/с.
28. Катер масою т = 2 т починає рухатися з місця й протягом часу t = 10 с розвиває при русі по спокійній воді швидкість = 4 м/с. Визначити силу тяги F двигуна катера, вважаючи її постійною. Прийняти силу опору Fо руху пропорційною швидкості тіла. Коефіцієнт опору k = 100 кг /с.
Відповідь: F = 1,03 кН.
29. Парашутист, маса якого т = 80 кг, здійснює затяжний стрибок. Вважаючи, що сила опору повітря пропорційна швидкості, визначити, через який проміжок часу t швидкість руху парашутиста буде дорівнювати 0,9 від швидкості усталеного руху. Коефіцієнт опору k = 10 кг/с. Початкова швидкість парашутиста дорівнює нулю.
Відповідь: t = 18,4 с.
30. З якої найменшої висоти h повинен почати їхати акробат на велосипеді (не працюючи ногами), щоб проїхати по доріжці, яка має форму «мертвої петлі» радіусом R = 4 м, і не відірватися від доріжки у верхній її точці? Тертям знехтувати.
Відповідь: h = 10 м.
31. Куля масою т = 10 г, яка летіла зі швидкістю = 600 м/с, потрапила в балістичний маятник (рис. 4) масою М = 5 кг і застрягла в ньому. На яку висоту h, відхилившись після удару, підніметься маятник?
Відповідь: h = 7,34 см.
32. У балістичний маятник масою М = 5 кг потрапила куля масою т = 10 г і застрягла в ньому. Знайти швидкість кулі, якщо маятник, відхилившись після удару, піднявся на висоту h = 10 см.
Відповідь: = 701 м/с.
33. Бойок пальового молота масою т1 = 500 кг падає з деякої висоти на палю, масою т2 = 100 кг. Знайти к.к.д. η удару бойка, вважаючи удар непружним. Зміною потенціальної енергії палі при її заглибленні знехтувати.
Відповідь: η = 0,167.
34. Чому дорівнює імпульс сили, який отримує стінка при ударі об неї кульки масою 300 г, якщо кулька рухалася зі швидкістю 8 м/с під кутом 60o до площини стінки? Удар об стінку вважати пружним.
Відповідь: 
.
35. Снаряд, який летить зі швидкістю 400 м/с, розривається на два осколки. Менший осколок, маса якого складає 40% від маси снаряда, полетів у протилежному напрямку зі швидкістю 150 м/с. Визначити величину і напрям вектора швидкості великого осколка.
Відповідь: υ = 763 м/с.
36. М’яч масою 100 г вільно падає з висоти 1 м на сталеву плиту і після зіткнення, підстрибує на висоту 0,5 м. Який імпульс за величиною і напрямком одержує плита в цьому випадку?
Відповідь: 
= 0,756 Н.с.
37. Ракета, маса якої разом із зарядом 250 г, злітає вертикально вгору і досягає висоти 150 м. Визначити швидкість виходу газів з ракети, вважаючи, що згоряння заряду відбувається миттєво. Маса заряду - 50 г.
Відповідь: υ = 217 м/с.
38. Гармата, що стоїть на дуже гладкій горизонтальній поверхні, стріляє під кутом 30o до горизонту. Маса снаряда 20 кг, а його початкова швидкість 200 м/с. Якої швидкості набуває гармата після пострілу, якщо її маса 500 кг.
Відповідь: υ = 6,92 м/с.
39. У човні масою 240 кг стоїть людина масою 60 кг. Човен пливе зі швидкістю 2 м/с. Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямі зі швидкістю 4 м/с (відносно човна). Знайти швидкість руху човна після стрибка людини, якщо: а) стрибок відбувається в напрямі руху човна;
б) стрибок відбувається в протилежному напряму до руху човна.
Відповідь: 
2 = 3,5 м/с.
40. Людина масою 60 кг, яка біжить зі швидкістю 8 км / год, наздоганяє візок масою 80 кг, що рухається зі швидкістю 2,9 км/год і застрибує на нього. З якою швидкістю буде рухатися візок разом з людиною? З якою швидкістю буде рухатися візок, якщо людина бігла йому назустріч?
Відповідь: = 1,41 м/с.
41. Снаряд масою 100 кг, що летить горизонтально вздовж залізничної колії зі швидкістю 500 м/с, попадає у вагон з піском масою 104 кг і застрягає в ньому. Яку швидкість буде мати вагон, якщо він рухався зі швидкістю 36 км/год у напрямі, протилежному до напряму руху снаряда?
Відповідь: = 14,85 м/с.
42. У скільки разів зменшиться швидкість атома гелію після пружної взаємодії з нерухомим атомом водню, маса якого в 4 рази менша маси атома гелію?
Відповідь: 
43. Назустріч одна одній рухаються дві кулі масами m1 і m2. Кінетична енергія другої кулі в 20 разів більша кінетичної енергії першої кулі. Між кулями відбувається абсолютно непружний удар. Яке має бути відношення мас цих куль m1 / m2, щоб після взаємодії вони рухалися в сторону руху першої кулі?
Відповідь: m1 / m2 > 20.
44. Частинка масою m1 = 10-24 г має кінетичну енергію T1 = 9 нДж. У результаті пружного зіткнення з частинкою, яка перебуває в спокої масою т2 = 4 ∙ 10‑ 24 г, її кінетична енергія дорівнює Т2 = 5 нДж. Визначити кут, на який відхилиться частинка від свого початкового напрямку.
Відповідь: 126о.
45. Знайти момент інерції тонкого однорідного кільця радіусом R = 20 см і масою т = 100 г відносно осі, яка лежить у площині кільця та проходить через його центр.
Відповідь: ½.mR2.
46. Через нерухомий блок масою т = 0,2 кг перекинутий шнур, до кінців якого підвісили тягарці масами т1 = 0,3 кг і т2 = 0,5 кг. Визначити сили Т1 і Т2 натягу шнура з обох боків блока під час руху тягарців, якщо маса у блоці рівномірно розподілена по ободу.
Відповідь: 3,53 Н; 3,92 Н.
47. Маховик обертається за законом, що виражається рівнянням 
,де А = 2 рад; В = 32 рад/с; С = - 4 рад/с2. Знайти середню потужність < N >, яка розвивається діючими на маховик силами при його обертанні до зупинки, якщо момент інерції маховика J = 100 кг∙ м2.
Відповідь: 12,8 кВт.
48. Кінетична енергія Т обертання маховика дорівнює 1 кДж. Під дією постійного гальмівного моментумаховик почав обертатися рівносповільнено й, виконавши N = 80 обертів, зупинився. Визначити момент М сили гальмування.
Відповідь: 1,99 Н.м.
49. На столі стоїть візок масою m1 = 4 кг. До візка прив'язаний один кінець шнура, перекинутого через блок. З яким прискоренням а буде рухатися візок, якщо до іншого кінця шнура прив'язати гирю масою m2 = 1 кг. Блок невагомий. Тертя в блоці відсутнє.
Відповідь: а = 1,96 м/с2.
50. Похила площина, що утворює кут a = 25° із горизонтом, має довжину l = 2 м. Тіло, рухаючись рівноприскорено, зісковзнуло з цієї площини за час t = 2 с. Знайти коефіцієнт тертя f тіла об площину.
Відповідь: f = 0,35.
51. Матеріальна точка масою m = 2 кг рухається під дією деякої сили F відповідно до рівняння х = A + Bt + Ct2 + Dt3, де C = 1 м/с2, D = - 0,2 м/с3. Знайти значення цієї сили в моменти часу t1 = 2с і t2 = 5с. У який момент часу сила дорівнює нулю?
Відповідь: F1 = -0,8 Н; F2 = -8 Н; F = 0 при t =1,67 с.
52. Парашутист масою 70 кг, здійснюючи затяжний стрибок, через 14 с досягає швидкості 60 м/с. Чому дорівнює робота з подолання опору повітря, якщо рух парашутиста є рівноприскореним?
Відповідь: Aon = 0,533 МДж.
53. Яку роботу слід виконати, щоб підняти вантаж масою 10 кг вздовж похилої площини з кутом нахилу 45o на відстань 2 м, якщо час підняття 2с, а коефіцієнт тертя μ = 0,1?
Відповідь: А = 175,54 Дж.
54. Пружина жорсткістю 500 Н/м стиснута силою F = 100 Н. Яку роботу зовнішньої сили слід виконати, щоб додатково стиснути цю пружину ще на 2 см?
Відповідь: А = 2,1 Дж.
55. Яку роботу слід виконати, щоб на шляху 10 м збільшити швидкість руху тіла масою 10 кг від 2 м/с до 6 м/с? Сила тертя постійна F = 20Н.
Відповідь: А = 360 Дж.
56. Тіло масою 5 кг вдаряється об нерухоме тіло масою 2,5 кг, яке після удару починає рухатися з кінетичною енергією 5 Дж. Вважаючи удар центральним і пружним, визначити кінетичну енергію першого тіла до і після удару.
Відповідь: К1 = 5,625 Дж; К2 = 0,625 Дж.
57. Дві кулі підвішені на рівнобіжних нитках однакової довжини так, що вони дотикаються. Маса першої кулі – 0,2 кг, маса другої – 100 г. Першу кулю відхиляють так, що її центр мас піднімається на висоту 4,5 см, і відпускають. На яку висоту піднімуться кулі після зіткнення, якщо удар непружний.
Відповідь: h2 = 2,24 см.
58. Вантаж, який покладений на чашку терезів, стискає пружину на x1 = 5 см. Знайти величину стиснення пружини для випадку, коли цей же вантаж падає на чашку терезів з висоти h = 10 см.
Відповідь: х2 = 0,16 м.
59. Тіло масою m = 2 кг під дією постійної сили рухається прямолінійно, причому залежність координати х тіла від часу визначається рівністю x = B + Ct + Dt², де В = 1 м, С = 2 м/c, D = 3 м/c². Знайти роботу, яку виконує ця сила в інтервалі часу від 0 до t = 3 с.
Відповідь: А =396 Дж.
60. Тіло масою m = 2 кг рухається вгору по похилій площині, яка складає кут α = 30o з горизонтом. Початкова швидкість тіла 
= 10 м/c, коефіцієнт тертя μ = 0,1. Знайти: а) шлях, який пройде це тіло до зупинки; б) роботу сили тертя на цьому шляху.
Відповідь: s = 8,7 м; Атр.= -14,75 Дж.
61. У балістичний маятник масою М = 4 кг попадає куля масою m = 10 г, яка летить горизонтально зі швидкістю = 400 м/с і застрягає в ньому. Знайти висоту, на яку підніметься маятник з кулею після удару.
Відповідь: h = 4,97с м.
62. Диск радіусом R = 40 см обертається навколо вертикальної осі. На краю диска лежить деяке тіло. Приймаючи коефіцієнт тертя f = 0,4, знайти частоту п обертання, при якій тіло зісковзне з диска.
Відповідь: п = 0,5 с-1.
63. До шнура підвішена гиря. Гирю відвели від положення рівноваги так, що шнур набув горизонтального положення, і відпустили. Чому дорівнює сила Т натягу шнура в момент, коли гиря проходить положення рівноваги? Який кут φ з вертикаллю утворює шнур у момент, коли сила натягу шнура дорівнює силі тяжіння гирі?
Відповідь: Т = 3mg; φ = 70,50 о.
64. Яку найбільшу швидкість υmах може розвинути велосипедист, проїжджаючи заокруглення радіусом R = 50 м, якщо коефіцієнт тертя ковзання між шинами і асфальтом дорівнює 0,3? Який кут φ відхилення велосипеда від вертикалі, коли велосипедист рухається по заокругленню?
Відповідь: υmах = 12,1м/с; φ =16,7 о.
65. Вал обертається з частотою п = 2400 хв-1. До вала перпендикулярно до його довжини прикріплений стрижень дуже малої маси, що має на кінцях два тягарці масою m = 1 кг кожний, які розміщені на відстані r = 0,2 м від осі вала. Знайти силу F, яка розтягує стрижень при обертанні вала.
Відповідь: F =12,7 кН.
66. На гладенькому столі лежить брусок масою m = 4 кг. До бруска прив'язані два шнури, перекинуті через нерухомі блоки, прикріплені до протилежних країв столу. До кінців шнурів підвішені гирі, маса яких m1 =1 кг і m2 = 2 кг. Знайти прискорення a, з яким рухається брусок, і силу T натягу кожного зі шнурів. Масою блоків і тертям в них знехтувати.
Відповідь: а = 1,4 м/с2; Т1 = 11,2 Н; Т2 = 16,8 Н.
67. Шайба, пущена по поверхні льоду з початковою швидкістю υ0 = 20 м/с, зупинилася через t = 40 с. Знайти коефіцієнт тертя f шайби об лід.
Відповідь: f = 0,051.
68. На горизонтальній поверхні розміщений брусок масою m1 = 2 кг. Коефіцієнт тертя f1 бруска об поверхню дорівнює 0,2. На бруску лежить інший брусок масою m2 = 8 кг. Коефіцієнт тертя f2 верхнього бруска об нижній дорівнює 0,3. До верхнього бруска прикладена сила F. Визначити: а) значення сили F1, при якій почнеться спільне ковзання брусків по поверхні; б) значення сили F2, при якій верхній брусок почне проковзувати відносно нижнього.
Відповідь: F1 = 19,6 Н; F2 = 39,2 Н.
69. Початкова швидкість υ0 кулі дорівнює 800 м/с. При русі в повітрі за час t = 0,8 с її швидкість зменшилася до υ = 200 м/с. Маса m кулі дорівнює 10 г. Вважаючи силу опору повітря пропорційною квадрату швидкості, визначити коефіцієнт опору к. Дією сили тяжіння знехтувати.
Відповідь: к = 4,7 · 10-5 кг/м.
70. Акробат на мотоциклі описує «мертву петлю» радіусом r = 4 м. З якою найменшою швидкістю υmin повинен проїжджати акробат верхню точку петлі, щоб не зірватися?
Відповідь: υmin = 6,26 м/с.
71. Тягарець, прив'язаний до нитки довжиною l = 1 м, описує коло у горизонтальній площині. Визначити період Т обертання, якщо нитка відхилена на кут φ = 60 ° від вертикалі.
Відповідь: Т = 2,47 с.
72. При насадці маховика на вісь центр тяжіння виявився на відстані r = 0,1 мм від осі обертання. У яких межах змінюється сила F тиску осі на підшипники, якщо частота обертання маховика п = 10с-1? Маса m маховика дорівнює 100 кг.
Відповідь: Fmax = 1,02 кH; Fmin = 942 H.
73. Літак масою m = 2,5 т летить зі швидкістю υ = 400 км/год. Він виконує у горизонтальній площині віраж (віраж – політ літака по дузі кола з деяким кутом нахилу). Радіус R траєкторії літака дорівнює 500 м. Знайти поперечний кут φ нахилу літака і піднімальну силу F крил під час польоту.
Відповідь: φ = 68 °; F = 65,4 кН.
74. Куля масою m1 = 10 кг, що рухається зі швидкістю υ1 = 4 м/с, зіштовхується з кулею масою m2 = 4 кг, швидкість υ2 якої дорівнює 12 м/с. Вважаючи удар прямим, непружним, знайти швидкість u куль після удару в двох випадках: а) менша куля наздоганяє більшу кулю, що рухається в тому самому напрямі; б) кулі рухаються назустріч одна одній.
Відповідь: u1 = 6,3 м/с; u2 = -0,57 м/с.
75. На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки з легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. Маса людини М = 60 кг, маса дошки m = 20 кг. З якою швидкістю u (відносно підлоги) буде рухатися візок, якщо людина піде вздовж дошки зі швидкістю (відносно дошки) υ = 1 м/с? Масою коліс знехтувати. Тертя у втулках коліс не враховувати.
Відповідь: u = 0,75 м/с.
76. Снаряд масою m = 10 кг мав швидкість υ = 200 м/с у верхній точці траєкторії. У цій точці він розірвався на дві частини. Менша частина снаряда масою m1 = 3 кг полетіла вперед під кутом φ1 = 60° до горизонту із швидкістю u1 = 400 м/с. Знайти, з якою швидкістю u2 і під яким кутом φ2 до горизонту полетить велика частина снаряда.
Відповідь: u2 = 249 м/с; φ2 = 36,6о.
77. Обчислити роботу А, яка виконується при рівноприскореному підніманні вантажу масою m = 100 кг на висоту h = 4 м за час t = 2 с.
Відповідь: А = 4,72 кДж.
78. Тіло масою m = 1 кг кинуте з вежі в горизонтальному напрямі зі швидкістю υo = 20 м/с через t = 3 с упало на землю. Визначити кінетичну енергію К, що мало тіло в момент удару об землю. Опором повітря знехтувати.
Відповідь: К = 663 Дж.
79. Два вантажі масами m1 = 10 кг і m2 = 15 кг підвішені на нитках довжиною l = 2 м так, що вантажі дотикаються між собою. Менший вантаж був відхилений на кут φ = 60° і відпущений. Визначити висоту h, на яку піднімуться обидва вантажі після удару. Удар вантажів вважати абсолютно непружним.
Відповідь: h = 16 см.
80. Куля масою m 1, яка летить зі швидкістю υ1 = 5 м/с, ударяє нерухому кулю масою m2. Удар прямий, непружний. Визначити швидкість u куль після удару, а також частину w кінетичної енергії кулі, що перебуває в русі, яка витрачається на збільшення їх внутрішньої енергії. Розглянути два випадки: а) m1 = 2 кг, m2 = 8 кг; б) m1 = 8 кг, m2 = 2 кг.
Відповідь: а) u = 1 м/с, w = 0,8; б) u = 4 м/с, w = 0,2.
81. Куля масою m1 = 200 г, що рухається зі швидкістю υ1 = 10м/с, ударяє нерухому кулю масою m2 = 800 г. Удар прямий, абсолютно пружний. Які будуть швидкості u1 і u2 куль після удару?
Відповідь: -6 м/с; 4 м/с.
82. У човні масою m1 = 200 кг стоїть людина масою m2 = 65 кг. Човен пливе зі швидкістю υ1 = 3 м/с. Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямку зі швидкістю u2 = 4 м/с (відносно човна). Знайти швидкість руху човна після стрибка людини у бік, протилежний руху човна.
Відповідь: 5,78 м/с.
83. На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки з легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. Маса людини М = 60 кг, маса дошки m = 20 кг. Знайти, на яку відстань d: а) переміститься візок, якщо людина перейде з швидкістю 1 м/с відносно дошки на інший кінець дошки; б) переміститься людина відносно підлоги; в) переміститься центр мас системи візок – людина відносно дошки і відносно підлоги. Довжина дошки дорівнює 2 м. Масою коліс знехтувати. Тертя у втулках коліс не враховувати.
Відповідь: а) 1,5м; б) 0,5 м; в) 0.
84. На залізничній платформі встановлена гармата. Маса платформи із гарматою М = 15 т. Гармата стріляє вгору під кутом α = 60° до горизонту в напрямі рейок. З якою швидкістю υ1 покотиться платформа внаслідок віддачі, якщо маса снаряда m = 20 кг і він вилітає зі швидкістю υ2 = 600 м/с?
Відповідь: 0,4 м/с.
85. Обчислити роботу А, що виконується на шляху S = 12 м силою, яка рівномірно зростає, якщо на початку шляху сила F1 = 10 Н, наприкінці шляху F2 = 46 Н.
Відповідь: 336 Дж.
86. Камінь кинуто вгору під кутом φ = 60° до горизонту. Кінетична енергія К0 каменя в початковий момент часу дорівнює 20 Дж. Визначити кінетичну К і потенціальну П енергії каменя у найвищій точці його траєкторії. Опором повітря знехтувати.
Відповідь: 5 Дж; 15 Дж.
87. В балістичний маятник масою М = 5 кг потрапила куля масою m = 10 г і застрягла в ньому. Знайти швидкість υ кулі, якщо маятник, відхилившись після удару, піднявся на висоту h = 10 см.
Відповідь: υ = 701 м/с.
88. Молот масою m1 = 5 кг ударяє невеликий шматок заліза, що лежить на ковадлі. Маса m2 ковадла дорівнює 100 кг. Масою шматка заліза знехтувати. Удар непружний. Визначити ККД η удару молота за даних умо.
Відповідь: η = 0,952.
89. З двох абсолютно пружних куль, які співударяються, більша куля нерухома. У результаті прямого удару менша куля втратила w = 3/4 своєї кінетичної енергії К1. Визначити співвідношення М/m мас куль.
Відповідь: М/m = 3.
90. Суцільний циліндр масою m = 2 кг котиться без ковзання по горизонтальній поверхні. Лінійна швидкість осі циліндра 1 м/с. Визначити повну кінетичну енергію цього циліндра.
Відповідь: К = 1,5 Дж.
91. На барабан радіусом 20 см з моментом інерції 0,1 кг·м² намотана мотузка, до якої прив'язаний вантаж масою 0,5 кг. До початку обертання барабана висота вантажу над підлогою дорівнює 1 м. Знайти: а) через який час вантаж опуститься до підлоги; б) кінетичну енергію вантажу в момент удару об підлогу. Тертям знехтувати.
Відповідь: t = 1,095 c; K =0,825 Дж.
92. Диск масою 1 кг і діаметром 60 см обертається з частотою 20 об/с навколо осі, яка проходить через центр, перпендикулярно до площини диска. Яку роботу треба виконати, щоб зупинити диск?
Відповідь: А = 1,42 кДж.
93. На барабан радіусом 0,5м намотана мотузка, до кінця якої прив'язаний вантаж масою 10 кг. Знайти момент інерції барабана, якщо відомо, що вантаж опускається з прискоренням 2,04 м/c2?
Відповідь: І = 9,51 кг.м2.
94. Махове колесо з моментом інерції 245 кг·м², яке здійснює обертальний рух з частотою n = 20 об./с, під дією гальмівного моменту сил тертя зупинилося через час t = 1 хв. Знайти: а) момент сил тертя; б) число обертів, які здійснило це колесо до повної зупинки.
Відповідь: М = 512,8 Н . м; N = 3768 об.
95. Маховик, момент інерції якого дорівнює 53,6 кг·м2, обертається з постійною кутовою швидкістю 31,4 рад/с. Знайти гальмівний момент, під дією якого маховик зупиняється через 20 с і роботу сил гальмування.
Відповідь: М = 84,15 Н.м; А = 2,64.104 Дж.
96. Блок, що має форму диска масою 0,4 кг, обертається під дією сили натягу мотузки, до кінців якої підвішені тягарці масами 0,3 кг і 0,7 кг. Визначити сили натягу мотузки з обох боків блока.
Відповідь: N1 = 4 H; N2 = 9,66 H.
97. Визначити момент сили, який необхідно прикласти до блока, що обертається з частотою 12 c-1, щоб він зупинився впродовж 8 с. Діаметр блока 30 см. Масу блока 6 кг вважати рівномірно розподіленою по ободу.
Відповідь: M = 1,27 H.м.
98. Нитка, з прив'язаними до її кінців тягарцями масою 50 г і 60 г, перекинута через блок діаметром 4 см. Визначити момент інерції блока, якщо під дією сил натягу ниток він одержав кутове прискорення 1,5 рад/c2?
Відповідь: І = 2,43.10-3 кг.м2.
99. На обід маховика діаметром 60 см намотана мотузка, до кінця якої прив'язаний вантаж масою 2 к г. Визначити момент інерції маховика, якщо він, обертаючись рівноприскорено, за час 3 с набув кутової швидкості 9 рад/с.
Відповідь: І = 1,78 кг · м2.
100. Обчислити момент інерції J прямокутника з дроту із сторонами а = 12 см і b = 16 см відносно осі, що лежить у площині прямокутника і проходить через середини малих сторін. Маса рівномірно розподілена за довжиною дроту з лінійною густиною τ = 0,1 кг/м.
Відповідь: J = 1,44.10-4 кг.м2.
101. Знайти момент інерції J тонкого однорідного кільця радіусом R = 20 см і масою m = 100 г відносно осі, що лежить у площині кільця і проходить через його центр.
Відповідь: J = 2.10-3 кг.м2.
102. Однорідний диск радіусом R = 10 см (рис. 5) може вільно обертатися навколо горизонтальної осі, перпендикулярної до площини диска, що проходить через точку О на рисунку. Диск відхилили на кут α і відпустили. Визначити для початкового моменту часу кутове і тангенціальне аτ прискорення точки В, що міститься на диску. Обчислення виконати для таких випадків: а) а = R, b = R/2, α = π/2; б) a = R/2, b= R, α= π/6; в) а =2/3R, Рисунок 5
b = 2/3R, а= 2/3 π.
Відповідь: а)65,3рад/с2, 9,8м/с2; б)32,7рад/с2, 4,9 м/с2;в) 59,9 рад/с2, 7,99 м/с2.
103. Через блок, що має форму диска, перекинутий шнур. До кінців шнура прив'язали тягарці масами m1 = 100 г і m2 = 110 г. З яким прискоренням а будуть рухатися тягарці, якщо маса m блока дорівнює 400 г? Тертям при обертанні блока знехтувати.
Відповідь: а = 0,24 м/с2.
104. Платформа, що має форму диска, може обертатися навколо вертикальної осі. На краю платформи стоїть людина масою m1 = 60 кг. На який кут φ повернеться платформа, якщо людина піде вздовж краю платформи і, обійшовши її, повернеться у вихідну точку на платформі? Маса m2 платформи дорівнює 240 кг. Момент інерції J людини розраховувати як для матеріальної точки.
Відповідь: φ = 120о.
105. На краю платформи у формі диска, яка обертається за інерцією навколо вертикальної осі з частотою 8 хв<
