Приклад 1. У вершинах квадрата перебувають однакові точкові заряди 30 нКл. Який негативний заряд треба помістити в центрі квадрата, щоб зазначена система зарядів перебувала в рівновазі?
Дано:
q1 = q2 = q3 = q4 = 30 нКл = 30.10-9 Кл.
_______________________________
q5 =?
Розв’язання. Всі заряди, розташовані у вершинах квадрата, перебувають в однакових умовах. Тому досить з'ясувати, який заряд слід помістити в центр квадрата, щоб який-небудь із чотирьох зарядів, наприклад q1, перебував у рівновазі. Заряд q1 буде перебувати в рівновазі, якщо векторна сума діючих на нього сил дорівнює Рисунок 6
нулю (рис.6)
0, (1)
де 
, 
, 
, 
– сили, з якими відповідно діють на заряд q1 заряди q2 , q3, q4, q5;
= + – рівнодійна сил та 
.
За законом Кулона, маючи на увазі, що q1 = q2 = q3 = q4 = q, одержимо
F2 = F4 = 
, (2)
F3 = 
, (3)
F5 = 
, (4)
де a – сторона квадрата;
r = a 
– діагональ квадрата.
Як видно з рис. 6, рівнодійна сил 
й 
за напрямком збігається із силою F3 і за модулем дорівнює F = 
. З урахуванням цього твердження векторну рівність (1) можна замінити скалярною
F + F3 - F5 = F2 
+F3 -F5. (5)
Рівність (5) з урахуванням (2) – (4) матиме вигляд
= 0.
Звідки
q.
Здійснивши обчислення, одержимо
3.10-8 Кл = 2,87. 10-8 Кл.
Слід зазначити, що рівновага системи зарядів буде нестійкою.
Приклад 2. Два точкових заряди 2 нКл і -1 нКл перебувають у повітрі на відстані 5 см один від одного. Визначити напруженість і потенціал електричного поля в точці, віддаленої від першого заряду на відстань 6 см і від другого заряду на відстань 4 см.
Дано:
q1 = 2 нКл
q2 = - 1 нКл
d = 5 см
r1 = 6 см
r2 = 4 см
____________
Е –?
j –?
Рисунок 7
Розв’язання. Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів кожен заряд створює поле незалежно від наявності в просторі інших зарядів. Напруженість результуючого поля 
. Напруженості полів, створюваних у повітрі (e = 1) зарядами q1 й q2 визначають за формулами:
E1 = 
, (1)
E2 = 
. (2)
Напрямки векторів 
і 
зазначені на рис.7. Модуль вектора E знайдемо за теоремою косинусів
, (3)
де a – кут між векторами і .
З рис.7 видно, що 
.
Отже,
. (4)
Із трикутника зі сторонами r1, r2, d за теоремою косинусів знаходимо
cos b = (r12 + r22 - d2) / (2r1r2).
Обчислимо cos 
окремо
cosb = 
.
Виразимо всі величини в одиницях СІ: q1 = 2.10-9 Кл, q2 = -10-9 Кл, r1 = 6.10-2 м, r2 = 4.10-2 м, 1/4pe0 = 9.109 м/Ф, e = 1.
Зробивши обчислення за формулами (1), (2), (4), (5), одержимо:
E1 = 
B/м,
E2 = 
B/м.
При обчисленні Е2 знак заряду q2 опущений, тому що знак мінус визначає напрямок вектора , а напрямок був врахований при його графічному зображенні (рис.7).
.
За принципом суперпозиції потенціал результуючого поля, створюваного зарядами q1 й q2, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів j1 та j2, тобто j = j1 + j2 або
. (5)
Зробивши обчислення, одержимо
.
Приклад 3. На тонкій нитці, вигнутій по дузі кола радіусом 6 см, рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною 20нКл/м. Визначити напруженість і потенціал електричного поля, створюваного розподіленим зарядом у точці, яка збігається із центром кривизни дуги, якщо довжина нитки становить 1/3 довжини кола.
Дано:
R = 6 см
= 20 нКл/м
l = 2/3 R
___________
Е -? 
-?
Розв’язання. Виберемо осі координат так, щоб початок координат збігався із центром кривизни дуги, а вісь ОY була б розташована симетрично до кінців дуги (рис.8). Рисунок 8
Розіб'ємо нитку на елементарні ділянки й виділимо елемент довжиною dl із зарядом dq = dl. Цей заряд можна розглядати як точковий.
Визначимо напруженість електричного поля в точці О. Для цієї точки напруженість поля, створюваного зарядом dq, дорівнює
де 
– радіус-вектор, спрямований від елемента dl у точку О.
Розіб'ємо вектор d 
на складові 
й 
. Із умови симетрії випливає, що сума складових 
від всіх елементарних ділянок нитки дорівнює нулю й результуючий вектор буде спрямований уздовж осі OY. В цьому випадку напруженість поля визначиться так
, (1)
де dEY = dЕ sin a.
Оскільки r = R й dl = R d 
, то
dEy= 
sin = 
sin d . (2)
Після підстановки (2) в (1), проведемо інтегрування в межах зміни кута від 0 до 
, попередньо помноживши цей інтеграл на 2
E= 
= 
. (3)
Знайдемо потенціал електричного поля у точці О. У цій точці потенціал поля, створеного точковим зарядом dq, дорівнює
. (4)
Потенціал результуючого поля одержимо шляхом інтегрування виразу (4) по довжині нитки
.
Оскільки l = 2 
R / 3, то
. (5)
Виразимо всі величини в одиницях СІ: t = 2.10-8 Кл/м, R = 6.10-2 м, 1/4pe0 = 9.109 м/Ф, e = 1, e0 = 8,85.10-12 Ф/м.
Здійснивши обчислення за формулами (3) і (5), одержимо:
E = 
В/м,
В.
Приклад 4. Електричне поле створене довгим циліндром радіусом 1 см, рівномірно зарядженим з лінійною густиною заряду 20 нКл/м. Визначити роботу сил поля з переміщення точкового заряду 25 нКл із точки, що перебуває на відстані 1 см, у точку, що перебуває на відстані 3 см від поверхні циліндра в середній його частині.
Дано:
R = 1 см = 1.10-2 м
t = 20 нКл/м = 2.10-8 Кл/м
q = 25 нКл = 2,5. 10-8 Кл
a1 = 1 см = 1.10-2 м
a2 = 3 см = 3.10-2 м
_____________________
А -?
Розв’язування. Робота сил поля з переміщення заряду дорівнює
А = q(j1 - j2).
Для знаходження різниці потенціалів скористаємося співвідношенням 
j. Для поля з осьовою симетрією, яким є поле циліндра, можна записати
Е = 
або 
.
Інтегруючи цей вираз, знайдемо різницю потенціалів між двома точками, які відстоять від осі циліндра на відстанях r1 й r2
, (1)
де r1 = a1 + R, r2 = a2 + R.
Оскільки циліндр довгий і точки взяті поблизу його середньої частини, то можна скористатися формулою напруженості поля, створюваного нескінченно довгим циліндром
(2)
Підставивши (2) в (1), одержимо
ln 
або
ln 
(3)
Таким чином,
ln 
Перевіримо чи дає розрахункова формула одиницю роботи. Для цього в праву частину замість символів величин підставимо їх одиниці
.
Виразимо всі величини в одиницях СІ: e = 1; t = 2.10-8 Кл/м; q = 2,5.10-8 Кл; 1/2peо = 2,9 109 м/Ф. Оскільки величини r2 й r1 входять у формулу (3) у вигляді відношення, то їх можна виразити в сантиметрах.
Виконавши необхідні розрахунки, одержимо
А = 2,5.10-8.2,9.109.2. 10-8 
= 6,2.10-6 Дж. 
Приклад 5. Електричне поле створене тонкою нескінченно довгою ниткою, рівномірно зарядженою з лінійною густиною заряду 
30 нКл/м. На відстані 20 см від нитки перебуває плоска кругла площадка радіусом 1 см. Визначити потік вектора напруженості електричного поля через площадку, якщо її площина складає кут 30о з лінією напруженості, яка проходить через середину площадки.
Дано:
= 30 нКл/м
a = 20 см
R = 1 см
b = 30о
_____________
DNЕ -?
Розв’язання. Поле, створюване ниткою (дуже тонким циліндром), є неоднорідним, тому воно змінюється в просторі
(1)
Потік вектора дорівнює
cos 
,
де – кут між векторами й 
(рис.9). Оскільки лінійні розміри площадки малі в порівнянні з відстанню до нитки (а>>R), то Е в межах площадки змінюється незначно. Тому значення Е и cos під знаком інтеграла можна замінити їх середніми значеннями < E > й < cos > і винести за знак інтеграла
<E> <cos > 
<E> <cos > S,
де S = R2.
Замінюючи < E >й < cos > їх наближеними значеннями ЕА й cos A, розрахованими для середньої точки А площадки, одержимо
S cos A =EA R2 cos A. (2)
З рис.10 видно, що
cos A = cos(90о - ) =sin .
З урахуванням цього формула (2) матиме
вигляд
sin 
sin .
Рисунок 9
Виразимо всі величини в одиницях СІ: t = 3.10-8 Кл/м; e = 1; a = 0,2 м; R = 10-2 м; 1/2peо = 2,9.109 м/Ф.
Зробивши обчислення, одержимо
B.м.
Приклад 6. Електрон рухається в однорідному електричному полі вздовж силової лінії. У деякій точці поля з потенціалом 100 В електрон мав швидкість 4 Мм/с. Визначити потенціал точки поля, дійшовши до якої, електрон втратить половину своєї швидкості.
Дано:
j1 = 100 В
1 = 4 Мм/с = 4.106 м/c
2 = 2 Мм/с = 2.106 м/c
___________________
j2 –?
Розв’язання. Через відсутність сил тертя повна механічна енергія електрона не змінюється, тобто W = 
= const,
де 
– кінетична й (- еj) – потенціальна енергія електрона.
Повна енергія на початку руху
, (1)
наприкінці руху з урахуванням того, що 2 = 1/2,
. (2)
Прирівнявши вирази (1) і (2), одержимо для потенціалу
.
Виразимо всі величини в одиницях СІ: 1 = 4.106 м/с; m = 9,1.10-31 кг; е = 1,6.10-19 Кл.
Виконавши обчислення, одержимо
= 66 В.
Можливий й інший підхід до розв’язання. Зміна кінетичної енергії частинки дорівнює роботі результуючої сили, тобто
.
Оскільки електрон гальмується силами поля, то А = - е(j1 - j2).
Приклад 7. Сила взаємного притягання пластин плоского повітряного конденсатора 50 мН. Площа кожної пластини 200 см2. Визначити об'ємну густину енергії поля конденсатора.
Дано:
F = 50 мН = 5.10-2 Н
S = 200 см2 = 2.10-2 м2
__________________
w -?
Розв’язання. Об'ємна густина енергії поля конденсатора
(1)
де Е =s/ee0 – напруженість електричного поля між пластинами конденсатора;
s – поверхнева густина заряду на пластинах.
Підставивши вираз для Е в (1), одержимо
(2)
Знайдемо силу взаємного притягання пластин. Заряд q = sS однієї пластини перебуває в полі напруженістю Е1 = s / 2ee0, створеному зарядом іншої пластини конденсатора. Отже, на заряд першої пластини діє сила
(3)
Виразивши s2 з формули (3) і підставивши її в (2), одержимо
w = F / S
Виразимо всі величини в одиницях СІ: F = 5.102 Н, S = 2.10-2 м2.
Виконавши необхідні обчислення, одержимо
Дж/м3.
Приклад 8. Між пластинами плоского конденсатора, зарядженого до різниці потенціалів 600 В, перебувають два шари діелектриків – скло товщиною 5 мм та ебоніт товщиною 3 мм. Площа кожної пластини 200 см2. Визначити: а) напруженість електричного поля, індукцію й спад напруги в кожному шарі; б) електричну ємність конденсатора.
Дано:
U = 600 В
скло,
d1 = 5 мм = 5.10-3 м
ебоніт
d2 = 3 мм = 3.10‑ 3 м
S = 200 см2 = 2.10-2 м2
________________
Е –? D –?
U 1–? U2 –?
С –?
Розв’язання. При переході через межу поділу діелектриків нормальна складова вектора 
в обох шарах діелектриків має однакові значення D1n = D2n.
У конденсаторі силові лінії вектора перпендикулярні до межі поділу діелектриків, отже, D1n = D1 й D2n = D2. Тому
D1 = D2 = D. (1)
Врахувавши, що D = ee0Е, і скорочуючи на e0, з рівності (1) одержимо
e1E1 = e2Е2 , (2)
де Е1 й E2 – напруженості електричного поля в першому й у другому шарах діелектриків;
e1 й e2 – діелектричні проникності діелектриків.
Різниця потенціалів між пластинами конденсатора очевидно дорівнює сумі напруг на шарах діелектриків
U = U1 + U2 . (3)
У межах кожного шару поле однорідне, тому U1 = E1d1 й U2 = Е2d2. З урахуванням цього рівність (3) набуде вигляду
U = Е1d1 + E2d2. (4)
Розв’язавши спільно рівняння (2) і (4), одержимо
Виразимо всі величини в одиницях СІ: d1 = 5.10-3 м; d2 = 3.10-3 м; e1= 7; e2 = 3; e 0 = 8,85.10-12 Ф/м.
Виконавши необхідні обчислення, одержимо
B/м;
B/м;
B;
B;
Кл/м2.
Визначимо ємність конденсатора
С = 
, (5)
де q = 
S – заряд кожної пластини конденсатора. Враховуючи ту обставину, що поверхнева густина зарядів (на пластинах конденсатора чисельно дорівнює модулю електричного зміщення, тобто ( = D), одержимо
Виконавши необхідні обчислення, одержимо
пФ.
Електричний струм
Основні формули
1. Сила постійного струму
,
де q – заряд, що пройшов через поперечний переріз провідника за час t.
2.Густина електричного струму є векторна величина, яка дорівнює відношенню сили струму до площі S поперечного перерізу провідника:
,
де k – одиничний вектор, який за напрямком збігається з напрямком руху позитивних носіїв заряду.
3. Опір однорідного провідника
де 
– питомий опір речовини провідника;
l – його довжина.
4. Провідність G провідника і питома провідність 
речовини:
, 
.
5. Залежність питомого опору від температури
,
де і 0 – питомі опори відповідно при t і 0°С;
t – температура (за шкалою Цельсія);
– температурний коефіцієнт опору.
4. Опір послідовно з'єднаних провідників:
.
Опір паралельно з'єднаних провідників
,
де Rі – опір і -го провідника;
п – кількість провідників.
7. Закон Ома в інтегральній формі:
- для неоднорідної ділянки кола
;
- для однорідної ділянки кола (
= 0)
;
- для замкнутого кола (
= 
)
,
де ( - ) – різниця потенціалів на кінцях ділянки кола;
– е.р.с. джерел струму, що входять у цю ділянку;
U – напруга на ділянці кола;
R – опір кола (ділянки кола);
– е.р.с.усіх джерел струму замкнутого кола.
8. Правила Кірхгофа.
Перше правило: алгебраїчна сума сил струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю, тобто
,
де п – кількість струмів, що сходяться у вузлі.
Друге правило: у замкненому контурі алгебраїчна сума спадів напруги на всіх ділянках контуру дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил, тобто
,
де І – сила струму на і-й ділянці;
Rі – активний опір на і-й ділянці;
– е.р.с. джерел струму на і-й ділянці;
п – кількість ділянок, що містять активний опір;
k – кількість джерел струму на всіх ділянках замкнутого контуру.
9. Робота, яка виконується електростатичним полем і сторонніми силами на ділянці кола постійного струму за час t
.
10. Потужність струму
.
11. Закон Джоуля-Ленца
,
де Q – кількість теплоти, що виділяється на ділянках кола за час t.
Закон Джоуля - Ленца має місце за умови, що ділянка кола нерухома і в ній не здійснюються хімічні перетворення.
12. Густина струму j, середня швидкість 
впорядкованого руху носіїв заряду та їх концентрація п пов'язані співвідношенням
,
де q – елементарний заряд.
13. Закон Ома у диференціальній формі
де – питома провідність провідника (
;
Е – напруженість електричного поля;
τ – середній час вільного руху носіїв струму;
m – масса електрона.
14. Закон Джоуля - Ленца у диференціальній формі
,
де 
– об'ємна густина теплової потужності.
15. Закони електролізу Фарадея. Перший закон
,
де т – маса речовини, що виділилась на електроді під час проходження через електроліт електричного заряду Q;
k – електрохімічний еквівалент речовини.
Другий закон
,
де F – стала Фарадея (F = 96,5 кКл/моль);
– молярна маса іонів даної речовини;
n – валентність іонів.
Об'єднаний закон
де І – сила струму, що проходить через електроліт;
t – час, протягом якого протікав струм.
16. Рухливість іонів
,
де <υ> – середня швидкість впорядкованого руху іонів;
Е – напруженість електричного поля.
17. Закон Ома у диференціальній формі для електролітів і газів при самостійному розряді в області, яка далека від насичення,
,
де Q – заряд іона;
п – концентрація іонів;
b+ і b- – рухливість відповідних іонів;
18. Густина струму насичення
,
де по – кількістьпар іонів, які створює іонізатор в одиниці об'єму за одиницю часу;
d – відстань між електродами (п0 =N/(Vt), де N – кількість пар іонів, що створює іонізатор за час t у просторі між електродами;
V – об'єм цього простору.
