Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


≤≤≤. ”мови нев≥дТЇмност≥ зм≥нних




Ќа баз≥ наведеного математичного опису можна про≥люструвати суть ц≥Їњ модел≥ так: необх≥дно визначити значенн€ n нев≥дТЇмних зм≥нних , €к≥ задовольн€ють обмеженн€м 3.2та забезпечують екстремальне значенн€ (максимальне або м≥н≥мальне) ц≥льовоњ функц≥њ, €ка виражена р≥вн€нн€м 3.1.

ƒо метод≥в вир≥шенн€ задач Ћѕ в≥днос€тьс€ граф≥чний метод, симплекс-метод. —имплекс-метод Ї анал≥тичним методом знаходженн€ р≥шенн€ задач Ћѕ.

ѕриклад. √раф≥чним методом розвТ€зати задачу л≥н≥йного програмуванн€:

Z = 3x1+7x2-5 (extr),

4x1 -3х2 12,

10x1 + 13х2 130,

- 1 + 8х2 48,

1 +5х2 10,

1 - х2 0,

х 1 0,

х 2 0.

–озв Т€зуванн€.

ЅудуЇмо граничн≥ пр€м≥, €к≥ в≥дпов≥дають нер≥вност€м системи обмежень задач≥ (кожне обмеженн€ розгл€даЇмо €к р≥вн€нн€). ƒл€ побудови дов≥льноњ пр€моњ нам потр≥бно дв≥ точки. якщо права частина р≥вн€нн€ не дор≥внюЇ нулю, то дл€ простоти знаходженн€ координат двох точок, через €к≥ проходить гранична пр€ма (наприклад L1), беремо спочатку x1=0 iзнаходимо х2: 4Ј0Ц3х2=12, зв≥дси Ц 2=12, а х2= Ц4. ћи маЇмо координати одн≥Їњ точки (0, -4). ѕот≥м п≥дставл€Їмо х2=0 ≥ визначаЇмо х1: 4х1Ц3 0=12, зв≥дси 4х1=12, а х1=3. ќтже, координати другоњ точки (3,0). јналог≥чно знаходимо координати точок дл€ побудови граничних пр€мих L2, L3 та L4.

¬ прав≥й частин≥ граничноњ пр€моњ, що в≥дпов≥даЇ п'€тому обмеженню - нуль, тому ц€ пр€ма проходить через початок координат, отже координати першоњ точки (0;0). ƒл€ визначенн€ координат другоњ точки беремо дов≥льне значени€ одн≥Їњ з нев≥домих (т≥льки не 0), наприклад, х1=1 ≥ визначаЇмо х 2: 2=0, зв≥дси х2= 4

L1 4x1 -3х2 = 12 (0;-4); (3;0).
L2: 10x1 + 13х2 = 130 (0;10); (13;0).
L3 - 1 + 8х2 = 48 (0;6); (-8;0).
L4: 1 +5х2 = 10, (0;2); (5;0).
L5 1 - х2 = 0, (0;0); (1;4).
L6 x1 =0, в≥сь Ox 2.
L7 х2 =0, в≥сь Ox 1.

«находимо п≥вплощини розвТ€зк≥в, що в≥дпов≥дають нер≥вност€м системи обмежень. ƒл€ цього беремо дов≥льну точку координатноњ площини, через €ку не проходить гранична пр€ма 4x1 -3х2 = 12 (дл€ простоти розрахунк≥в в≥зьмемо (0,0)) ≥ п≥дставл€Їмо в першу нер≥вн≥сть. ќтримаЇмо 4 0-3 0<12; 0<12, отже, нер≥вн≥сть справджуЇтьс€. ј це значить, що п≥вплощина розвТ€зк≥в, €ка в≥дпов≥даЇ першому обмеженню задач≥, розм≥щена в напр€мку точки (0,0). Ќа рисунку вказуЇмо стр≥лкою, в €кому напр€мку в≥д пр€моњ L1 розм≥щена п≥вплощина розвТ€зк≥в. јналог≥чн≥ розрахунки проводимо з ус≥ма граничними пр€мими. “≥льки дл€ визначенн€ п≥вплощини розвТ€зк≥в, що в≥дпов≥даЇ пТ€тому обмеженню, беремо координати дов≥льноњ точки, що не належить пр€м≥й, т≥льки не точку (0,0), оск≥льки гранична пр€ма L5 проходить через початок системи координат. ЎукаЇмо сп≥льну область, де перетинаютьс€ вс≥ п≥вплощини розвТ€зк≥в. ¬ нашому випадку багатокутником розвТ€зк≥в Ї ф≥гура ABCDE.

ЅудуЇмо вектор нормал≥ ={(0;0);(3;7)}. ѕерпендикул€рно до нього - л≥н≥ю р≥вн≥в. ѕаралельно переносимо цю л≥н≥ю в напр€мку вектора нормал≥. ќстанньою вершиною багатокутника, €ку перетне л≥н≥€ р≥вн≥в Ї точка - точка максимуму. “од≥ паралельно переносимо л≥н≥ю р≥вн≥в у напр€мку, протилежному до напр€мку вектора нормал≥.  райньою вершиною, €ку перетне л≥н≥€ р≥вн≥в, Ї точка ј - точка м≥н≥муму.

 

C

x 2

 

D

 

x1

–исунок 3.1

«найдемо координати оптимальних точок ≥ найб≥льше та найменше значени€ функц≥њ Z. “очка належить граничним пр€мим L2 та L3, тому њњ координати обчислимо, розвТ€завши систему р≥вн€нь цих граничних пр€мих:

10x1 + 13х2 = 130,

- 1 + 8х2 = 48,

–озвТ€зком системи Ї —(2.64; 7.97). ¬изначимо значенн€ ц≥льовоњ функц≥њ в ц≥й екстремальн≥й точц≥ Zmax =Z(C)=58.71.

јналог≥чно визначимо координати точки м≥н≥муму та в≥дпов≥дне значенн€ ц≥льовоњ функц≥њ. “очка ј Ї перетином пр€мих L4 та L5. «апишемо систему в≥дпов≥дних р≥вн€нь та розв'€жемо њњ.

1 +5х2 = 10,

1 - х2 = 0,

ќтже, ј(0,45; 1,8). Zmm =Z (A) = 8,95.

ѕриклад. —имплексним методом розвТ€зати задачу л≥н≥йного програмуванн€: ƒл€ виготовленн€ двох вид≥в продукц≥њ ѕ1 та ѕ2 використовуютьс€ три види сировини S 1, S 2 та S 3. «апаси сировини, норми витрат сировини на виготовленн€ одиниц≥ продукц≥њ кожного виду та оптова ц≥на одиниц≥ продукц≥њ кожного виду наведен≥ в таблиц≥:

 

 

 

¬ид сировини «апаси сировини ¬итрати сировини на виготовленн€ одиниц≥ продукц≥њ
ѕ1 ѕ2
S1      
S2      
S3      
ќптова ц≥на одиниц≥ продукц≥њ    

Ќеобх≥дно знайти такий план виробництва, €кий забезпечить найб≥льший сумарний дох≥д.

–озв'€зуванн€. ѕобудуЇмо математичну модель задач≥. Ќехай х1 та х2 - загальна к≥льк≥сть в≥дпов≥дно продукц≥њ ѕ1 та ѕ2; Z - сумарний дох≥д, €кий отримаЇмо в≥д реал≥зац≥њ виробленоњ продукц≥њ. “од≥ математична модель задач≥ матиме вигл€д:

Z = 9х1+ 6х2 (max),

4 x 1 + 2 275,

13 x1 + 8х2 680,

x1 + х2 60,

x1 0,

х2 0.

ѕриведемо задачу до канон≥чного виду:

Z = 9х1+ 6х2 (max),

1 + 5х23= 275,

13х1 +8х24 =680,

х1 + х2 + х5 = 60,

хi 0, i = .

–озвТ€жемо цю задачу симплекс-методом. «аповнимо початкову таблицю:

“аблиц€ 3.1

 

 

 

 

 

є таблиц≥ є р€дка   ќпорний план  оеф≥ц≥Їнти при нев≥домих
х 1 х 2 х 3 х 4 х 5
    Z   -9 -6      
  х 3            
  x 4            
  х 5            

≤терац≥€ 1. ¬ нульовий р€док заносимо ≥нформац≥ю про ц≥льову функц≥ю, а в р€дки 1-3 - дан≥ з в≥дпов≥дних р≥вн€нь системи обмежень. ƒл€ заповненн€ нульового р€дка початковоњ симплекс-таблиц≥ ц≥льову функц≥ю запишемо в такому ж вигл€д≥, €к обмеженн€ задач≥, тобто у вигл€д≥ р≥вн€нн€ Z - 9х1 - 6х2 = 0 (вс≥ нев≥дом≥ перенесемо в л≥ву частину), ≥ в подальшому нульовий р€док будемо заповнювати так само, €к ≥ р€дки 1-3, що в≥дпов≥дають обмеженн€м. ¬ стовпчику ЂЅазисї записуЇмо базисн≥ нев≥дом≥ з системи обмежень, а дл€ нульового р€дка базисною нев≥домою Ї Z. ¬ стовпчику Ђќпорний планї записуЇмо значенн€ базисних нев≥домих, коли в≥льн≥ нев≥дом≥ х 1 та х 2 дор≥внюють нулю (прав≥ частини р≥вн€нь-обмежень та ц≥льовоњ функц≥њ). ¬ наступних стовпчиках записуЇмо коеф≥ц≥Їнти при нев≥домих в ц≥льов≥й функц≥њ та систем≥ обмежень.

¬ипишемо з першоњ таблиц≥ початковий опорний план хопорн.= (0; 0; 275; 680; 60). «найдемо значенн€ ц≥льовоњ функц≥њ за цього плану Z (хопорн.) = 9Ј0+6Ј0=0. ѕерев≥римо, чи даний опорний план Ї оптимальним. ƒл€ визначенн€ ступен€ оптимальност≥ опорного плану використовуЇтьс€ нульовий р€док. ÷≥льова функц≥€ досл≥джуЇтьс€ на максимум, значить дл€ оптимальност≥ опорного плану в нульовому р€дку не маЇ бути в≥дТЇмних чисел. ¬ задач≥ в нульовому р€дку Ї два в≥дТЇмних числа ((-9) та (-6)), отже досл≥джуваний опорний план не Ї оптимальним. ¬ибираЇмо найменше з цих чисел (-9). —товпець, в €кому знаходитьс€ це число Ї ключовим, а нев≥дому x 1, €ка в≥дпов≥даЇ цьому стовпцю потр≥бно ввести в базис. —тавимо б≥л€ ц≥Їњ нев≥домоњ стр≥лочку (€кщо ц≥льова функц≥€ м≥н≥м≥зуЇтьс€ ≥ в нульовому р€дку Ї додатн≥ числа, то вибираЇмо найб≥льше з цих чисел ≥ за ним визначаЇмо, €ку нев≥дому потр≥бно ввести в базис). ўоб визначити, €ку з нев≥домих потр≥бно вивести з базису, складаЇмо в≥дношенн€ елемент≥в стовпц€ Ђќпорний планї до в≥дпов≥дних додатних елемент≥в ключового стовпц€ ≥ вибираЇмо найменше з цих в≥дношень:

275: 4 = 68,75;

680:13 = 52,3; (min)

60:l=60.

Ќев≥дому, €ка в≥дпов≥даЇ цьому найменшому в≥дношенню (в нашому випадку х 4) виводимо з базису. ¬≥дм≥чаЇмо цю нев≥дому стр≥лочкою, а р€док, €кому в≥дпов≥даЇ це найменше в≥дношенн€ називаЇтьс€ ключовим. Ќа перетин≥ ключового р€дка ≥ ключового стовпц€ знаходитьс€ ключовий (генеральний) елемент, р≥вний 13.

≤терац≥€ 2. ѕереходимо до другоњ симплекс-таблиц≥. «ам≥сть нев≥домоњ х 4 в базис вводимо нев≥дому x 1. Ќа м≥сц≥ ключового елемента нам потр≥бно отримати 1, а вс≥ ≥нш≥ елементи в стовпц≥ повинн≥ дор≥внювати нулю. ƒл€ цього ключовий р€док д≥лимо на ключовий (генеральний) елемент, тобто на 13, ≥ результат записуЇмо на м≥сц≥ другого р€дка табл. 3.2. ”с≥ ≥нш≥ р€дки табл. 3.2 заповнюЇмо методом ∆ордана-√ауса, посл≥довно виключаючи нев≥дому x 1 з нульового, першого та третього р€дк≥в:

1) множимо вс≥ елементи другого р€дка на 9 ≥ додаЇмо в≥дпов≥дн≥ елементи нульового р€дка табл. 3.1, результат записуЇмо на м≥сц≥ нульового р€дка табл. 3.2;

2) множимо кожен елемент другого р€дка на (Ц4) ≥ додаЇмо в≥дпов≥дн≥ елементи першого р€дка табл. 3.1, результат записуЇмо на м≥сц≥ першого р€дка табл. 3.2;

3) множимо кожен елемент другого р€дка на (Ц1) ≥ додаЇмо в≥дпов≥дн≥ елементи третього р€дка табл. 3.1, результат записуЇмо на м≥сц≥ третього р€дка табл. 3.2.

“аблиц€ 3.2

є таблиц≥ є р€дка   ќпорний план  оеф≥ц≥Їнти при нев≥домих  
                х 1 х 2 х 3 х 4 х 5  
    Z 6120 13   -6   9 13    
      х 3 855 13   33 13   -4 13    
      х 1 680 13   8 13   1 13    
      х 5 100 13   5   -1 13  
                         

≤з таблиц≥ виписуЇмо новий опорний план:

Xопорн =.

«наченн€ ц≥льовоњ функц≥њ за такого опорного плану

Z(xопорн) = 470.77

ѕерев≥римо цей опорний план на оптимальн≥сть. ¬ нульовому р€дку Ї в≥д'Їмне число (-6/13), тому такий опорний план не Ї оптимальним. Ќев≥дому, €ка в≥дпов≥даЇ цьому стовпцю 2) вводимо в базис. ¬≥дм≥чаЇмо цю нев≥дому стр≥лочкою. —кладаЇмо в≥дношенн€ елемент≥в стовпц€ Ђќпорний планї до в≥дпов≥дних додатних елемент≥в ключового стовпц€ ≥ вибираЇмо найменше з цих в≥дношень:

(min).

 

Ќев≥дому, €ка в≥дпов≥даЇ цьому найменшому в≥дношенню (в приклад≥ х 5) виводимо з базису. ¬≥дм≥чаЇмо цю нев≥дому стр≥лочкою.  лючовий елемент 5/13.

≤терац≥€ 3. ѕереходимо до третьоњ симплекс-таблиц≥. «ам≥сть нев≥домоњ х 5 в базис вводимо нев≥дому х 2.  лючовий (трет≥й) р€док д≥лимо на 5/13 ≥ результат записуЇмо на м≥сц≥ третього р€дка табл. 3.3. «нову використаЇмо метод ∆ордана-√ауса, посл≥довно виключаючи нев≥дому х 2з нульового, першого та другого р€дк≥в:

1) множимо вс≥ елементи третього р€дка на 6/13 ≥ додаЇмо в≥дпов≥дн≥ елементи нульового р€дка табл. 3.2, результат записуЇмо на м≥сц≥ нульового р€дка табл. 3.3;

2) множимо кожен елемент третього р€дка на (-33/13) ≥ додаЇмо в≥дпов≥дн≥ елементи першого р€дка табл. 3.2, результат записуЇмо на м≥сц≥ першого р€дка табл. 3.3;

3) кожен елемент третього р€дка множимо на (- 8/13) ≥ додаЇмо в≥дпов≥дн≥ елементи другого р€дка табл. 3.2, результат записуЇмо на м≥сц≥ другого р€дка табл. 3.3.

“аблиц€ 3.3

 

 

 

 

 

є таблиц≥ є р€дка Ѕазис ќпорний план  оеф≥ц≥Їнти при нев≥домих
х 1 х 2 х 3 х 4 х 5
    Z         3 6
  х 3         1 -33
  х 1         1 -8
  х 2         -1 13

¬ нульовому р€дку останньоњ таблиц≥ немаЇ в≥дТЇмних чисел, це означаЇ на€вн≥сть оптимального розвТ€зку: хопт=(40; 20; 15; 0; 0), Zmax = 480.

ќтже, максимальний дох≥д становитиме Zmax =480, €кщо продукц≥њ ѕ1виготовити 40 одиниць (х1 =40), а продукц≥њ ѕ2 - 20 одиниць (х 2=20).

ѕерев≥рка: Zmax= 9*40 + 6*20 = 360 +120 = 480. Ќев≥дом≥ х 4=0 та х 5=0, а це означаЇ, що сировина S2 та S3 використана повн≥стю, х 3=15, значить сировина S1 Ї в залишку (недовикористана) 15 одиниць.

ѕри розвТ€зуванн≥ задач л≥н≥йного програмуванн€ можлив≥ випадки, коли оптимального плану задач≥ л≥н≥йного програмуванн€ не ≥снуЇ (ц≥льова функц≥€ необмежена) або ≥снуЇ неЇдиний розвТ€зок задач≥

Ћабораторна робота є 6
Ђ«адача оптимального використанн€ ресурс≥вї

«адача. ƒл€ виготовленн€ двох вид≥в продукц≥њ ѕ1ѕ2 використовують три види сировини ≤, ≤≤ ≥ ≤≤≤. «апаси сировини, норми њх витрат ≥ прибуток в≥д реал≥зац≥њ одиниц≥ продукц≥њ задано у таблиц≥.

«найти розм≥р максимального прибутку, €кий можна одержати за на€вност≥ даних запас≥в сировини.

¬ар≥анти асортименту обрати з таблиц≥ 6.1.

“аблиц€ 3.4

N∞ «атрати ресурс≥в на одиницю продукц≥њ Ќа€вн≥сть ресурс≥в ѕрибуток
≤≤ ≤≤≤
ј1 ј2 ј1 ј2 ј1 ј2 ≤≤ ≤≤≤ ѕ1 ѕ2
1.                      
2.                      
3.                      
4.                      
5.                      
6.                      
7.                      
8.                      
9.                      
10.                      
11.                      
12.             . 80        
13.                      
14.                      
15.                      
16.                      
17.                      
18.                      
19.                      
20.                      
21.                      
22.                      
23.                      
24.                      
25.                      
26.                      
27.                      
28.                      
29.                      
30.                      

“≈ћј 4. ћќƒ≈Ћ≤ ќѕ“»ћјЋ№Ќќ√ќ ѕЋјЌ”¬јЌЌя Ќј –≤¬Ќ≤ ѕ≤ƒѕ–»™ћ—“¬ј

ќдн≥Їю з основних задач плануванн€ виробництва Ї розрахунок оптимального плану випуску продукц≥њ з урахуванн€м основних фактор≥в, €к≥ впливають на його обс€г.

¬ир≥шенн€ оптим≥зац≥йноњ задач≥ розпод≥л€Їтьс€ на три етапи: побудуванн€ економ≥ко-математичноњ модел≥; находженн€ оптимального р≥шенн€ задач≥; анал≥з результат≥в р≥шенн€.

јсортиментн≥ задач≥ на кондитерських фабриках €вл€ють собою групу задач, в €ких визначають виробничу програму фабрики з урахуванн€м впливу на п≥дприЇмства внутр≥шн≥х фактор≥в (можливостей обладнанн€, л≥м≥т≥в сировини, трудових чинник≥в) та де€ких зовн≥шн≥х вимог (по товарн≥й продукц≥њ в ц≥лому чи окремих њњ асортиментних груп та вид≥в, середньоњ ц≥ни асортименту, €кий випускаЇтьс€).

¬ задач≥ оптим≥зуЇмо виробничу програму п≥дприЇмства по критер≥ю максимального прибутку в≥д реал≥зац≥њ продукц≥њ; в≥дпов≥дно мова п≥де про п≥двищенн€ рентабельност≥ виробництва та зниженн€ соб≥вартост≥.

ƒл€ побудуванн€ абстрактноњ економ≥ко-математичноњ модел≥ асортиментноњ задач≥ введемо наступн≥ умовн≥ позначенн€:

j Ц ≥ндекс виду випускаЇмоњ продукц≥њ;

j = 1, 2,..., n Ц к≥льк≥сть вид≥в випускаЇмоњ продукц≥њ;

xj Ц шукаЇмий випуск продукц≥њ j-того виду;

Ц ≥ндекс виду ведучого обладнанн€;

= 1, 2,..., m Ц к≥льк≥сть одиниць ведучого обладнанн€;

аij Ц звТ€зуючий коеф≥ц≥Їнт обмеженн€ по обладнанню, визначаючий норму витрат часу роботи обладнанн€ -го виду на випуск одиниц≥ продукц≥њ
j-го виду;

ј Ц потужн≥сть обладнанн€ -го виду за плановий пер≥од (р≥к);

b Ц соб≥варт≥сть продукц≥њ зв≥тного чи планового року;

Bj Ц питома соб≥варт≥сть j-го виду продукц≥њ;

Dj¢, Dj Ц границ€ попиту на продукц≥ю j-го виду, в≥дпов≥дно верхн≥й ≥ нижн≥й;

pj Ц питомий прибуток в≥д реал≥зац≥њ одиниц≥ продукц≥њ j-го виду;

Sj Ц оптово-в≥дпускна ц≥на одиниц≥ продукц≥њ j-го виду (д≥юча);

S Ц варт≥сть пор≥вн€льноњ товарноњ продукц≥њ зв≥тного чи планового року.

÷≥льова функц≥€ маЇ наступний вигл€д:

ѕри обмеженн€х:

1. ѕо ведучому обладнанню:

2. ѕо випуску товарноњ продукц≥њ:

3. ѕо попиту на окрем≥ види продукц≥њ:

4. ѕо соб≥вартост≥ продукц≥њ:

5. ”мова нев≥дТЇмност≥ зм≥нних:

xj ³ 0, j = 1, 2,..., n.

Ћабораторна робота є 7
Ђ–озрахунок оптимальноњ виробничоњ програми карамельного цехуї

«адача. ” карамельному цеху випускають дек≥лька вид≥в продукц≥њ (табл.7.2). ѕродуктивн≥сть л≥н≥й визначаЇтьс€ по варочному апарату.  ≥льк≥сть варильних апарат≥в Ц 1.

«адано: оптова ц≥на, соб≥варт≥сть продукц≥њ ≥ попит, р≥чна продуктивн≥сть апарат≥в по карамел≥.

ѕотр≥бно:

1. –озрахувати обс€г ресурс≥в на св≥й асортимент (табл. 7.3).

2. ѕобудувати модель оптимального р≥чного плану п≥дприЇмства у загальному вигл€д≥ по критер≥ю оптим≥зац≥њ Ц максимальний прибуток.

3. «а допомогою отриманих нер≥вностей чи р≥вн€нь побудувати та записати матрицю коеф≥ц≥Їнт≥в ≥ функц≥ю ц≥л≥.

4. ¬ир≥шити задачу за допомогою функц≥њ "ѕоиск решени€" табличного процесора ћicrisoft ≈хсеl.

5. «аповнити вих≥дну таблицю та дати економ≥чний анал≥з.

¬ар≥анти асортименту обрати з таблиц≥ 7.1.

“аблиц€ 7.1

  1 2 3 4 5
¬ар≥ант 1          
¬ар≥ант 2          
¬ар≥ант 3          
¬ар≥ант 4          
¬ар≥ант 5          
¬ар≥ант 6          
¬ар≥ант 7          
¬ар≥ант 8          
¬ар≥ант 9          
¬ар≥ант 10          

«г≥дно вар≥анту завданн€ обрати продуктивн≥сть л≥н≥й з таблиц≥ 7.4. ќбрати обмеженн€ по попиту з таблиц≥ 7.5.

“аблиц€ 7.4

  ѕродуктивн≥сть л≥н≥й (т/р≥к)
Ќепарн≥ вар≥анти ѕарн≥ вар≥анти:
¬ар≥ант 1    
¬ар≥ант 2    
¬ар≥ант 3    
¬ар≥ант 4    
¬ар≥ант 5    
¬ар≥ант 6    
¬ар≥ант 7    
¬ар≥ант 8    
¬ар≥ант 9    
¬ар≥ант 10    

“аблиц€ 7.5

ќбмеженн€ по попиту (т/р≥к)

  1 2 3 4 5 6 7 8 9
max                  
min                  

 


“аблиц€ 7.2





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-11-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 588 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

„еловек, которым вам суждено стать Ц это только тот человек, которым вы сами решите стать. © –альф ”олдо Ёмерсон
==> читать все изречени€...

2089 - | 1941 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.07 с.