Аналогично п. 1.4.2 получаем
, (27)
, (28)
. (29)
Прогиб по середине балки
. (30)
Из условия
(31)
после интегрирования и преобразований получаем
, (32)
а для любого сечения x балки
. (33)
В табл. 1 приведены формулы для определения приведённых масс.
Определение жесткости элементов, механизмов и машин
Под жесткостью механической системы или отдельного её элемента понимают отношение нагрузки к вызываемой ею деформации.
В общем, виде линейная жесткость равна
, 
, (34)
а угловая жесткость
, 
, (35)
где P – растягивающее, сжимающее или изгибающее усилие;
Таблица 1
Формулы для определения приведенных масс
  
| 
|
    
| При x=L
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
y – перемещение в сечении, в котором прикладывается деформирующее усилие;
M – крутящий момент;
– угол закручивания в сечении, в котором прикладывается крутящий момент.
Для конкретных элементов (стержни, валы переменного сечения, балки, пружины, рессоры и т.п.) методами теории упругости находят деформацию элемента (y или ) в рассматриваемом сечении и определяют его жесткость.
Жесткость элемента зависит от следующих факторов:
- материал (Е, G);
- форма поперечного сечения (за исключением растяжения и сжатия);
- место (координата) приложения нагрузки;
- способ закрепления концов.
Иногда в расчетах удобнее пользоваться понятием податливость
, 
. (36)
Для определения жесткости элементов сложной формы (лопасти, вилки, зубья шестерен и т.п.) часто используют эмпирические формулы, включающие различные коэффициенты, учитывающие соотношения размеров элементов.
В табл. 2 приведены формулы для определения жесткости элементов, наиболее часто встречающихся в машинах и механизмах металлургических машин.
Приведение жесткостей системы
Жесткости звеньев, соединяющих приведенные массы, также должны быть приведенными.
Рассмотрим систему, состоящую из поступательно движущихся масс (рис. 12а), нагруженных силами 
, 
, 
, 
, …, 
.
Если приведение системы производят к массе mП, приведенная жесткость расчетной системы определяется следующим образом.
Статическая сила P1, действующая на массу m1, вызовет перемещение 
за счет упругой деформации звена c1; перемещение массы m2, соответственно, равно 
, перемещение следующей массы m3 составит 
и т.д., т.е. перемещение массы m1 под действием силы P1
(37)
Таблица 2
Формулы для определения жесткости элементов систем*
| Схема элемента | Описание элемента | Жесткость, податливость |
  
| Стержень постоянного сечения (S=const) | 
|
  
| Плоский стержень трапецеидального профиля (S=var) | 
|
   
| Ступенчатый стержень | При x=L
|
| Консольная балка при I=const | 
|
| Консольная балка при Ix=var, I – в сечении заделки | 
|
| Консольная балка при Ix=var, I – в сечении заделки | 
При 
|
* S и I – площадь и момент инерции поперечного сечения соответственно.
Продолжение табл. 2
| Двухопорная балка при I=const | 
|
| Двухопорная балка с заделкой одного конца при I=const | 
|
| Балка с жесткой заделкой концов при I=const | 
|
 
| Вал постоянного диаметра | 
|
| Ступенчатый вал | 
|
  
| Полый вал | 
|
   
| Деталь типа шкива | 
|
Продолжение табл. 2
  
| Конический вал | 
|
 
| Зубчатое колесо
α=20˚ – угол зацепления;
z – число зубьев;
|  ,
или
|
  
| Муфта: dб – диаметр болта; z – число болтов. | 
|
 
| Вилка универсального шпинделя | 
|
 
| Прямоугольный элемент γ – коэффициент, учитывающий соотношение b/h | 
b/h 2,0 2,5 3,0 4,0
γ 0,23 0,25 0,26 0,28
|
| Плоская пружина: δ – толщина; b – ширина пружины | 
|
Продолжение табл. 2
| Плоская пружина с промежуточной опорой | 
|
| Цилиндрическая винтовая пружина: D – средний диаметр пружины; d – диаметр проволоки; i – число витков | 
|
| Коническая винтовая пружина: D и d1 – наибольший и наименьший диаметры пружины; d – диаметр проволоки; i – число витков | 
|
| Мембрана, свободно опертая по периметру: δ – толщина мембраны; ν – коэффициент Пуассона | 
|
| Мембрана, защемленная по периметру | 
|
| Спиральная пружина: δ и b – толщина и ширина сечения витков пружины; L – полная длина пружины | 
|
| Винтовая пружина при кручении: D – диаметр пружины; d – диаметр проволоки; i – число витков | 
|
Перемещение той же массы m1 под действием силы P2
(38)
и так далее.
Полная деформация системы, т.е. перемещение массы m1 составит
(39)
Нагрузка системы, приведенная к массе m1(mП),
(40)
Приведенная жесткость системы
(41)
Большинство машин воспринимает внешние нагрузки только крайними массами. Для этого случая в формуле (41) все силы, кроме P1, должны быть равны нулю.
Тогда
. (42)
Для системы с вращающимися массами (рис. 12б) приведенная угловая жесткость равна
. (43)
Если в системе имеются движущиеся поступательно и вращающиеся части (массы), то жесткость может быть представлена либо как линейная, либо как угловая:
, (44)
или
, (45)
где R – радиус приведения линейной жесткости к угловой и обратно.
