Составление уравнений динамики упругих систем с распределенными массами

(волновые уравнения)

Для большого класса машин и механизмов решение задач динамики строится на физических моделях с сосредоточенными массами, т.к. распределенные массы, как правило, можно заменить сосредоточенными путем их приведения (см. п. 1.4). Однако в ряде случаев (большая протяженность рассчитываемых объектов, большие скорости деформации последних и т.п.) необходимо рассматривать элементы машины как системы с распределенными массами.

Рассмотрим порядок составления уравнений движения частиц для наиболее простых и характерных случаев, которые часто встречаются в практике расчетов.

На рис. 37 приведена схема стержня постоянного сечения S, подвергающегося растяжению и сжатию.

Известно, что скорость распространения упругой волны в прямом стержне

, (282)

где – удельный вес материала стержня.

Жесткость растягиваемого или сжимаемого стержня равна

. (283)

Если масса стержня

, (284)

то

. (285)

Жесткость определяет частоту колебаний системы. С уменьшением L (при неизменном значении m) жесткость резко возрастает.

Время распространения упругой волны по длине стержня может быть выражено в виде

. (286)

С уменьшением L время t_B уменьшается. Скорость распространения упругой волны в сплошных металлических средах равна 5000 м/с. Время t_B при L=10 м равно 0,002 с. Таким образом, при малых L упругая волна достигает противоположного конца стержня в течение малого времени.

Время распространения упругой волны в длинных стержнях существенно, пренебрегать им нельзя, и движение отдельных сечений следует рассматривать более строго.

Если U – продольное перемещение любого сечения стержня, x – координата рассматриваемого сечения, то относительное удлинение стержня можно записать в виде , а растягивающую силу . Приращение ее будет