Условие коллинеарности векторов в координатной форме

Пусть и - коллинеарные векторы. Тогда .

(5.6)

Т.е. векторному равенству соответствует три равенства (5.6) для координат. Если векторы пропорциональны, то из (5.6) следует пропорциональность их координат:

Пример 6.1. Будут ли коллинеарны векторы , ?

Решение. Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, причем .

Пример 6.2. Даны векторы

. Коллинеарны ли векторы и ?

Решение. Найдем координаты векторов

Координаты векторов не пропорциональны

Следовательно, векторы не коллинеарны.

Деление отрезка в данном отношении.

Даны две точки: и . На отрезке АВ найти точку , которая делит отрезок в отношении λ: . , т.е. .

Но и .

По условию коллинеарности:

. Отсюда

(6.7)

Если λ =1, то получаем формулы деления отрезка пополам; координаты середины отрезка равны среднему арифметическому координат его концов.

(6.8)

Соответствующие формулы на плоскости получаются при из формул (6.7) и (6.8).

Пример 6.3. Даны точки А (-3, 1) и В (2, 4). В каком отношении ось Оy делит отрезок АВ?

Решение. Пусть ось Оy пересекает отрезок АВ в точке С.

Ее координаты (0, у). Координаты концов отрезка

Пример 6.4 Найти координаты центра масс треугольника АВС, если известны координаты его вершин: А (-4, -2); В (2, 0); С (1, 3).

Решение. Искомая точка лежит на пересечении его медиан. Найдем координаты точки D - середины стороны АВ:

Известно, что медианы треугольника пересекаются в точке М, которая делит медиану AD в отношении1/2

Следовательно,

Разложение вектора по базису

Три линейно независимых вектора , , образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , , , т.е. для любого найдутся такие вещественные числа , , , что справедливо равенство:

(6.9)

– разложение вектора по базису , , , где , , - координаты относительно базиса , , .

Два линейно независимых вектора и образуют на плоскости базис, если любойвектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и , т.е. для любоговектора найдутся такие вещественные числа , , что справедливо равенство:

(6.10)

Справедливы следующие утверждения:

1. Любая тройка некомпланарных векторов , и образует базис в пространстве.

2. Любая пара лежащих на плоскости неколлинеарных векторов и образуют базис на этой плоскости.

3. Каждый вектор может быть единственным способом разложен по базису , , или, координаты каждого вектора относительно базиса , , определяются однозначно.

Пример 6.5. Даны векторы