Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых

Определение угла между прямыми сводится к определению угла между их направляющими векторами ; .

Из определения скалярного произведения имеем:

(12.5)

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их направляющих векторов и :

(12.6)

Условие перпендикулярности: (, ) = 0:

l₁l₂ + m₁m₂ +n₁n₂ = 0 (12.7)

Пример 12.4. Найти угол между прямой, проходящей через две точки и прямой

Решение. Координаты направляющего вектора первой прямой . Для второй прямой направляющим является вектор . Угол между направляющими векторами вычислим, используя формулу (12.5),

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается общее уравнение прямой в пространстве?

2. Как записываются параметрические уравнения прямой в пространстве?

3. Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки в пространстве?

4. Как вычисляются углы между двумя прямыми в пространстве?

5. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве?

Задачи для самостоятельного решения

1.Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых в пространстве

1) и

2) и

3) и

4) и

Ответ. 1) совпадают; 2) параллельны; 3) скрещиваются; 4) пересекаются.

2. Составить параметрические уравнения прямой:

Ответ.

3. Написать параметрические уравнения прямой, проведенной через начало координат перпендикулярно плоскости

Ответ.

4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М ₁(2; 0 -3) параллельно: 1) вектору 2) прямой 3) оси Ох; 4) оси Оу; 5) оси Оz.

Ответ. 1) 2) 3) 4) 5)

5. Через точки и проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

Ответ. , , .

6. Даны вершины треугольника А (3; 6; -7), В (-5; 2; 3)и С (4; -7; -2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С.

Ответ.

7. Даны вершины треугольника А (2; -1; -3), В (5; 2; -7)и С (-7; 11; 6). Составить канонические уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине А.

Ответ.

8. Даны вершины треугольника А (1; -2; -4), В (3; 1; -3)и С (5; 1; -7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

Ответ.