Декартова прямоугольная система координат

Реальное пространство, которое мы будем изучать, называется трехмерным R₃. Каждая точка в нем определяется тройкой действительных чисел. Плоскость – R₂.

Декартова прямоугольная система координат представляет собой три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей:

ось Оx – ось абсцисс;

ось Оy – ось ординат;

ось Оz – ось аппликат.

Направление осей координат можно задать единичными векторами (ортами) , , .

Возьмем произвольную точку М. Вектор называется радиус-вектором точки М: . Радиус-вектор, в свою очередь, определяет некоторый вектор , который можно переносить в пространстве параллельно самому себе. Найдем проекции вектора на оси координат: очевидно, что

Такая картинка называется разложением вектора по трем координатным осям. Проекции радиус вектора на координатные оси обозначим через x, y, z.

Координатами точки М в пространстве называются проекции вектора на соответствующие координатные оси: M (x, y, z).

Пользуясь свойствами проекций, с помощью единичных векторов , , можно записать: ; ; . Тогда

или . (6.1)

Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.

Таким образом, три числа x, y, z, с одной стороны, являются координатами точки М, с другой – координатами радиус-вектора этой точки. Равенство (6.1) – основное равенство векторной алгебры. Его называют разложением вектора по координатным осям (по базису , , ).

Система координат в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками упорядоченных чисел (или радиус-векторами).

Обозначим , - углы наклона вектора к осям Ox, Oy, Oz. Числа , , принято называть направляющими косинусами вектора .