Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1- 8 вычислить определители:

В задачах 1- 8 вычислить определители:

1. . 2. . 3. .

4. 5. 6.

7. 8.

9. Доказать справедливость равенств:

1) ;

2 )

10. Решить уравнения:

1) 2)

11. Решить неравенства:

1) 2)

Ответы: 1. -4. 2. 180. 3. 87. 4. 0. 5. . 6. .

7. xyz (x-y)(y-z)(z-x). 8. (a+b+c)(.

10. 1) х= -3; 2)

Занятие 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Действия над матрицами

Определения

Система m линейных уравнений с n неизвестными (переменными) имеет вид

(2.1)

Здесь и -произвольные числа (i =1, 2,..., m; j =1, 2,..., n), которые называются соответственно коэффициентамипри неизвестных и свободными членами уравнений (2.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, и второй индекс соответствует номеру неизвестного .

Решением системы уравнений (2.1) называется набор n чисел , при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Системы уравнений (2.1) называются совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (2.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1) вычеркивание уравнения -нулевой строки;

2) перестановка уравнений или слагаемых в уравнениях

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число.

Решение систем линейных уравнений

По формулам Крамера

Рассмотрим частный случай системы (4.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m=n. Система уравнений имеет вид

(2.2)

Составим квадратную матрицу А 3-го порядка этой системы:

(2.3)

Составим определитель матрицы системы А:

, (2.4)

который называется также определителем системы.

Теорема. (теорема Крамера). Пусть - определитель матрицы системы А, а -определитель полученный из определителя заменой j -го столбца столбцом свободных членов В. Тогда:

1) если , система линейных уравнений (2.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам

(2.5)

2) если и все , то система имеет бесчисленное множество решений;

3) если и хотя бы один из дополнительных определителей , то система решений не имеет.

Формулы вычисления неизвестных (2.5) – решения системы (2.2) –носят название формул Крамера.

Пример 2.1. Найти решение системы уравнений

Решение. Решим систему, применяя формулы Крамера. Определитель системы:

= =

=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41.

Определитель системы: отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Вычисляем определители: ; ; :

Тогда: , , .

Однородные системы

Однородной называется система вида

(2.5)

Очевидно, что всякая однородная система имеет решение

x= 0, y= 0, z= 0, называемое нулевым Теорема Крамера изменится:

1) если , система однородных линейных уравнений (2.5) имеет только нулевое решение;

2) если , система имеет бесчисленное множество решений;

Запишем эти решения. Пусть Перепишем систему уравнений

И решим ее по формулам Крамера

 

.

Переменная может быть выбрана произвольно, а две другие переменные находятся по полученным формулам. Система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 2.2. Решить систему уравнений

Определитель системы равен нулю. Система имеет бесчисленное множество решений. Перепишем систему

Решим полученную систему по формулам Крамера.

Придавая z различные значения, получим бесчисленное множество решений.

 

Действия над матрицами

1. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

А = , В = ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

С = , i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер. Операция суммирования матриц обладает следующими свойствами

1.

А+В=В+А.

2. (А+В)+С=А+(В+С).

3. А+О=А, где О – нулевая матрица.

Пример 2.3. Пусть даны матрицы А и В:

А = , В = .

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

С = , С = .

2. Произведением матрицы А на число называется матрица В=А, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на :

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер, а и - некоторые вещественные числа. Тогда:

1.

2.

3.

4. ОА=О, где О – нулевая матрица.

 

Пример 2.4. Пусть даны матрица А и число :

А = , =2.

Тогда произведением матрицы А на число является матрица

С = .

3.Произведением АВ двух квадратных матриц А и В одного порядка называется третья квадратная матрица С того же порядка, составленная по следующему правилу: элемент , стоящий в матрице С на пересечении k-й строки с l-м столбцом, есть сумма произведений элементов строки матрицы А на соответствующие элементы l-го столбца матрицы В:

. (2.6)

Определение произведения можно распространить на неквадратные матрицы, у которых число столбцов матрицы множимого А равно числу строк матрицы множителя . При соблюдении этого условия множимого А может иметь любое число (m) строк, а матрица В – любое число (n) столбцов. Матрица С = АВ будет иметь m строк и n столбцов, ее элементы вычисляются по формуле (2.6).

Пример 2.5. Найти произведения АВ и ВА матриц

А = , В =

Решение. По формуле (2.6) получаем элементы

матрицы АВ:

Итак,

АВ = ;

По формуле (2.6) получаем элементы матрицы ВА:

Итак, ВА = .

Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, заключаем, что .

Пример 2.6. Найти произведения АВ матриц

А = , В = .

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу . По формуле (2.6) находим:

Следовательно:

АВ = .

Пусть А, В и С – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведение матриц были определены), а - действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:

1. АВ ВА

2. (АВ)С = А(ВС).

3. (А + В)С = АС + ВС.

4. А(В + С) = АВ + АС.

5. (АВ) = ( А)В = А( В).

Нетрудно убедиться, что в алгебре квадратных матриц единичная матрица играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слева и справа:

6. АЕ = А.

7. ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

2. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?

3. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

4. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

5. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?

6. При каком условии система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

7. Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства?

8. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?