В задачах 1-7 решить системы уравнений:
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
7. 
8. Найти сумму матриц
, 
.
9. Найти матрицу 2А+5В, если
, 
.
10.. Найти значение матричного многочлена 2А2+3А+5Е при 
, если Е –единичная матрица третьего порядка.
11. Найти матрицу АВ, если 
, В= 
.
12. Дана матрица 
. Найти матрицу 
.
Ответы: 1. (1;-2;1). 2. (3;4;-1). 3. (1+t; -2+3t; 4-t; t).
4. (-1+2t; 2-t; 3+t; t). 5. (0; 0; 0). 6. (1;5;2). 7. (1; 2; 3; 4). 8. 
. 9. 
10. 
. 11. АВ= 
. 12. 
Занятие 3. Ранг матрицы. Вычисление обратной матрицы. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы
Вычисление ранга матрицы
Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов
А = 
.
Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка; определитель этой матрицы называется миноромk-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n, т. е.
max k = min(m,n)
Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти, по крайней мере, один минор наибольшего порядка.
Наибольший порядок миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы.
Для вычисления ранга матрицы приведем ее к ступенчатому виду: Будем изменять матрицу А размера m´n так, чтобы сохранялся ее ранг. В результате матрица приводится к виду:
  ;  ,  . (3.1)
| |
| m-r{ |
Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где 
, * - некоторые числа.
Ранг этой матрицы = r.
Ранг матрицы не меняют следующие операции:
1. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число;
2. Перемену местами строк, столбцов.
Рассмотрим элемент 
. Пусть 
, тогда умножая первую строку на подходящие числа (для 2-ой (
), для 3-ей (
)) и прибавляя ее ко 2-ой и 3-ей и т. д. строкам. Преобразуем матрицу так, чтобы элементы первого столбца были равны нулю, тогда матрица примет вид:
.
Рассмотрим матрицу 
, образованную элементами 2-й,..., n -й строк и столбцов. Добьемся того, чтобы 
, переставляя местами строки. Если этого сделать нельзя, то матрица уже имеет ступенчатый вид. Проделаем те же операции, что и с матрицей А, и так до тех пор, пока матрица не примет вид (3.1).
Пример 3.1. Найти ранг матрицы
А = 
.
Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду:
~ 
~ 
.
1. Умножим каждый элемент 1-ой строки на (-2) и сложим со второй строкой; на (-4) и сложим с третьей строкой.
2.Умножим каждый элемент 2-ой строки на (-3) и сложим с 3-ей строкой.
3. Нетрудно увидеть, что максимальный порядок миноров этой матрицы отличных от нуля равен двум, поскольку минор третьего порядка содержит элементы 3-ей строки, которые равны нулю, следовательно определитель третьего порядка равен нулю, таким образом r(A) = 2.
