Для побудови економіко-математичної моделі, введемо наступні змінні: 
- випуск товарної продукції протягом часу 
; 
- рівень запасів на кінець часу . Попит на товарну продукцію для періоду позначимо через 
. Припускаємо, що величина для всіх визначається невід’ємними цілими числами і до початку планового періоду всі відомі.
Вважається, що для кожного періоду витрати залежать від випуску продукції , рівня запасів на кінець відрізка і, крім того, від значення 
. Позначимо витрати на відрізку через 
. Тоді цільову функцію економіко-математичної моделі можна записати у загальному вигляді:
На значення змінних і накладають декілька обмежень. По-перше, їх значення повинні бути цілочисловими; по-друге, бажано щоб рівень запасів на кінець відрізку 
дорівнював нулю, тобто 
; по-третє, ставиться умова повного і своєчасного задоволення попиту у межах кожного періоду часу.
Для виконання цієї умови, необхідно ввести два обмеження. Перше з них назвемо балансовим, оскільки в ньому стверджується, що: рівень запасів на кінець відрізка = (Рівень запасів на початок відрізку ) +(Випуск товарної продукції на відрізку ) –(Попит на відрізку ).
Якщо скористатися умовними позначеннями, що наведено вище, то це обмеження можна записати у наступному виді:
або у більш зручному вигляді:
. Відповідно до другого обмеження, що вводиться, і яке забезпечує своєчасне виконання підприємством своїх зобов’язань, рівень запасів на початок кожного відрізку і обсяги випуску продукції протягом цього відрізку повинні бути достатньо великими для того, щоб рівень запасів на кінець відрізка був невід’ємним.
Як видно, обмеження є лінійним. Як би всі величини витрат лінійно залежали від значень змінних, тоді ця модель була б еквівалентна сітковій моделі і для неї легко можна було б знайти рішення. Але у більшості практичних випадків застосування виробничих моделей, функція витрат нелінійна. У тих випадках, коли обсяг виробництва протягом деякого періоду перевищує нормальну потужність виробничої дільниці, допоміжні витрати на одиницю продукції можуть зростати за рахунок використання надпланової роботи, переналадки обладнання, збільшення норм витрат на його обслуговування і т.п.
Для того, щоб розв’язати задачу про нелінійність кожної з величин , сформулюємо її у термінах динамічного програмування.
У нашому випадку =4, тому що виробничий рік будемо розбивати на 4 квартали. Складемо балансове рівняння для 
.
В задачі про управління товарними ресурсами будемо будувати обчислювальний процес від кінцевого стану до вихідного. Тут кінцевим станом буде початок останнього відрізку планового періоду, а вихідним – початковий момент першого відрізку (попереду ще відрізків).
При складанні математичної моделі зручно використовувати систему індексів, при якому підстроковий індекс “1” відповідає кінцевому, а “ ” – вихідному стану. Застосуємо наступні позначення:
- попит на продукцію на відрізку 
, який віддалений від кінця планового періоду на відрізків (включаючи і той, що розглядається);
- витрати на відрізку , що пов’язані з випуском 
одиниць продукції і з зберіганням запасів, рівень яких на кінець відрізку дорівнює 
одиниць.
В цій системі позначення 
і 
, а 
.
Нехай 
, а плановий період починається з І кварталу. Тоді 
є попит на І квартал, 
- на ІV квартал. В моделі буде використовуватися “обернена система індексів”: попит за І квартал позначимо 
, за ІІ - 
, за ІІІ - 
, за IV - 
.
Для прийняття поточного рішення про обсяги випуску продукції не потрібно знати, яким чином досягається вихідний рівень запасів, тому введемо наступні позначення:
- вартість, яка відповідає стратегії мінімальних витрат на відрізків, що залишилися, при початковому рівні запасів ;
- випуск продукції, що забезпечує досягнення .
Згідно з тим, що кінцевий запас дорівнює нулю (), рівень запасів на кінець планового періоду дорівнює нулю, тому має місце вираз:
Потім перейдемо до 
. Вихідний рівень запасів може визначатися будь-яким невід’ємним цілим числом, але не більшим ніж . Незалежно від значення для повного задоволення потреб у межах останнього відрізку обсяг випуску товарної продукції повинен дорівнювати (
). Значить,
.
Перейдемо до 
. Відмітимо, якщо початковий рівень запасів дорівнює , а обсяг випуску , то загальні витрати для двох кварталів будуть складати
,
Причому будемо вважати, що обрана стратегія для була оптимальною. Крім того, величина 
є рівнем запасів на кінець другого відрізка. Величина може приймати будь-які невід’ємні цілочислові значення, що не перевищують (
). При заданому цілочислові значення повинне бути не менше, ніж 
, що забезпечує повне задоволення потреб на другому відрізку., але не більше ніж 
, оскільки кінцевий запас дорівнює нулю. Оптимальному обсягу випуску товарної продукції відповідає таке значення , при якому мінімізується сума витрат на виробництво і зберігання продукції. Виконаний вище аналіз для можна виразити наступним чином:
де 
, причому для відшукування мінімуму перебираються всі невід’ємні цілі значення , що знаходяться в межах 
.
Значення 
можна обчислити, якщо відоме значення 
і т.п. В кінці можна обчислити 
, де 
- рівень запасів на початок планового періоду. Загальне рекурентне співвідношення записується в наступному вигляді: 
де 
, причому для відшукування мінімуму перебирають всі невід’ємні цілі значення , що знаходяться в межах 
.
Треба відмітити, що оскільки початковий рівень запасів розглядається як змінна величина, яка повністю характеризує стан системи, то єдиною незалежною керуючою змінною у рекурентному співвідношенні є , тому що рівень запасів на кінець відрізка дорівнює (
). Треба відмітити, що оскільки 
і 
без зусиль обчисляються за вищевказаними формулами, то можна безпосередньо і по черзі обчислити значення 
, а потім аналогічним чином 
. Послідовно переходячи до все більших значень , дійдемо до обчислення 
і, в кінці приходимо до .
Для відшукування оптимальної виробничої програми визначимо, який обсяг випуску продукції 
дозволяє досягти одержаного значення . Відповідне рішення про випуск продукції є оптимальним рішенням для початкового відрізка планового періоду. Рівень запасів на початок наступного відрізка дорівнює 
. Знайдемо обсяги випуску товарної продукції, які дозволяють досягти одержаного раніше значення 
і т.п.
Як видно з вищевикладеного, процес прийняття рішення є багатошаговим, число яких (у даній задачі число відрізків планового періоду) до кінця процесу.
Використовуючи лише одне нове положення: початковий рівень запасів вважається характеристикою стану системи за кроків до кінця планового періоду. Продовжуючи розгляд прикладу, побудованого для чотирьох кварталів, видно, якщо відомий рівень запасів на початок IV кварталу, попит за цей же квартал, то необхідний обсяг випуску товарної продукції у точності повинен дорівнювати різниці між цими двома величинами. Така залежність відображається вищевикладеним рівнянням. Таким чином, якщо рівень запасів на початок IV кварталу відомий, тоді знаходження оптимального випуску товарної продукції для цього періоду знаходиться легко.
Аналогічно цьому, при відомому рівні запасів на початок ІІІ кварталу і попиту за ІІІ квартал необхідний обсяг випуску продукції повинен бути не меншим, ніж різниця між цими двома величинами.
В свою чергу рішення, що приймається щодо обсягів випуску продукції у ІІІ кварталі, впливає на рівень запасів на початок IV кварталу і його значення дорівнює (
). Якщо остання величина відома, тоді можна діяти у IV кварталі оптимальним чином. Але випуск IV кварталу вже був оптимізований на попередньому кроці. Тому при визначенні оптимального обсягу виробництва у ІІІ кварталі, необхідно розглядати тільки суму витрат у ІІІ кварталі і оптимальних витрат після нього. Вся сукупність цих міркувань представлена правою частиною рекурентного співвідношення динамічного програмування. Ті ж самі міркування можна повторити для ІІ та І кварталів.
В рекурентному співвідношенні, про що йшлося вище, послідовність операцій обернена до дійсної їх послідовності у часі. Це означає, що обчислювальний процес направлений від останнього відрізка планового періоду до першого. У нашому випадку, де , 
обчислюється для IV кварталу. Але можна також розробити і прямий алгоритм, при якому обчислювальний процес направлений від першого відрізка до останнього. У цьому випадку необхідно задатися деякими значеннями вихідного рівня запасів . Припустимо, що 
. У випадку прямого алгоритму, наш підхід ґрунтується на обчисленні мінімальних витрат 
з першого по -й відрізок при умові, що рівень запасів на кінець відрізка від початку планового періоду дорівнює .
Тоді:
,
Для відшукування мінімуму перебираються всі невід’ємні цілі значення , що не перевищують (
). Кінцевою метою обчислень є визначення значення 
, де 
- заданий рівень запасів на кінець планового періоду.
Відмітимо, що (
) у виразі є рівень запасів на початок відрізку . Оптимальне значення у вищевказаному співвідношенні, що дозволяє досягти протягом останніх відрізків планового періоду, відноситься до випуску першого відрізка. Навпаки, оптимальне значення , що дозволяє досягти у співвідношенні, відноситься до випуску на відрізку . Значить, після представлення для всіх і в табличному виді одержимо рішення, для чого нам прийдеться почати із значення для відрізка , потім визначити відповідне оптимальне значення 
, зафіксувати відповідне йому значення рівня запасів на початок останнього відрізка, відшукати відповідне оптимальне значення 
і т.п.
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
Задача 1. Розв’язати графічним методом
1.
| 2.
| 3.
|
4.
| 5.
| 6.
|
7.
| 8.
| 9.
|
10.
| 11.
| 12.
|
13.
| 14.
| 15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
| 20.
| 21.
|
22.
| 23.
| 24.
|
25.
| 26.
| 27.
|
28.
| 29.
| 30.
|
Задача 2. Розв’язати задачу за допомогою симплексного методу
1.
| 2.
| 3.
|
4.
| 5.
| 6.
|
7.
| 8.
| 9.
|
10.
| 11.
| 12.
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16.
| 17.
| 18.
|
19.
| 20.
| 21.
|
22.
| 23.
| 24.
|
25.
| 26.
| 27.
|
28.
| 29.
| 30.
|
Задача 3. Знайти оптимальний план перевезень вантажу ( - номер варіанта)
| Пункти відправлення | Пункти призначення | Запаси вантажів | ||||
| В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | ||
| А1 | 70 - N | 84 | 72 | 56 | 56 + N | 80 - N |
| А2 | 39 | 43 | 66 - N | 40 | 55 | 55 |
| А3 | 41 | 54 | 45 | 38 | 36 | 65 + N |
| Потреби у вантажах | 48 | 45 - N | 31 | 37 | 39 + N | 200 |
Задача 4. Знайти розв’язок задачі цілочислового програмування методом Гоморі, перевірку зробити за допомогою графічного методу
1.
| 2.
| 3.
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7.
| 8.
| 9.
|
10.
| 11.
| 12.
|
13.
| 14. 
| 15.
|
16.
| 17.
| 18.
|
19.
| 20.
| 21.
|
22.
| 23.
| 24.
|
25.
| 26.
| 27.
|
28.
| 29.
| 30.
|
Задача 5. Дослідити функцію на екстремум
