Лекции.Орг


Поиск:




Числові методи побудови розв’язку задачі Коші




ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Факультет будівництва та архітектури Кафедра вищої математики

 

ОСНОВИ ЧИСЛОВИХ МЕТОДІВ

 

У ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

 

З РЕАЛІЗАЦІЄЮ В ПАКЕТІ MAPLE

 

 

Методичні рекомендації та контрольні завдання до курсу

«Основи числового аналізу» з напряму підготовки 6.100102

«Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва»

Львів 2014

 

 

Рекомендовано до друку

методичною радою ЛНАУ

Протокол № 10 від 8.05.2014р.

 

Укладачі: к. ф.-м.н., доцент Л. Я. Шпак

к. ф.-м.н., доцент Т. І. Бубняк

ст.викладач О. І. Говда

 

Рецензент: к. т. н., доцент В.О.Тимочко

 

Видається за редакцією авторів

 

© Львівський національний аграрний університет, 2014


Основні положення роботи в Maple

 


Інтерполяційний многочлен

Для функції заданої таблично:

 

  x x1 x2 xn
  y y1 y2 yn

інтерполяційний многочлен Лагранжа будуємо згідно формули:

 

Наприклад, для функції заданої таблично:

 

  x -1        
  y   -3 -1   ?

 

побудуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа.Обчислимо наближене значення многочлена у заданій в точці х = -0,5.

Згідно умови функція визначена в чотирьох точках (вузлах) n =4. Згідно запропонованої формули записуємо чотири доданки:

 

.

Одержуємо многочлен третього порядку:

На рис.1 побудовано графік інтерполяційного многочлена. В вузлах інтерполяції його значення співпадають з значеннями заданими в таблиці.

Рис. 1

Обчислюємо значення многочлена в заданій точці:

y = L 4(-0,5)=7,3.

Побудову інтерполяційного многочлена та обчислення його значення в точці (х = -0,5) в вікні програми Maple здійснюємо операторами:

після вводу яких клавішою Enter одержуємо:

Графік многочлена будуємо оператором:

Треба зауважити, що в діапазоні зміни аргумента х через двокрапку в рядок вказуємо найменше та найбільше його значення з таблиці. Одержуємо графік.

 

Метод найменших квадратів

3.1 Метод найменших квадратів визначення параметрів

лінійної емпіричної залежності y=ax+b

Нехай в результаті емпіричних досліджень одержано таблицю значень функції:

  x x1 x2 xn
  y y1 y2 yn .

За методом найменших квадратів для визначення параметрів a та b

лінійної емпіричної залежності y=ax+b мінімізуємо суму квадратів відхилень відповідних значень на прямій і значень заданих в таблиці

 

З необхідної умови екстремуму функції двох змінних:

 

записуємо систему двох лінійних рівнянь для визначення параметрів a та b:

Розглянемо приклад. Методом найменших квадратів для функції заданої таблично:

x -1        
y   -3 -1    

визначити параметри a та b емпіричної лінійної залежності y=ax+b.

При обчисленні коефіцієнтів системи та визначенні розв’язку можна скористатись довільним прикладним програмним забезпеченням, зокрема записати в формі Exel таблиці:

i x y x2 xy
  -1     -14
    -3   -3
    -1   -3
         
Сума        

 

 

Записуємо систему двох лінійних рівнянь:

Розв’язок системи: a =-0,8; b =6,1.

Методом найменших квадратів побудована лінійнаемпірична залежність: y= - 0,8 x+ 6,1.

Побудуємо графік визначеної прямої і точкової функціональної залежності заданої в табличній формі в умові завдання (рис.2).

 

 

 

Рис. 2.

Оскільки параметри прямої визначено методом найменших квадратів то сумарне відхилення точок від прямої є мінімальним.

В вікні програми Maple залежність методом найменших квадратів будуємо підключаючи відповідний статистичний пакет операторами:

>

>

>

ввівши які одержуємо лінійну залежність

.

3.2 Метод найменших квадратів визначення параметрів

квадратичної емпіричної залежності y=ax2+bx+c

Методом найменших квадратів для функції заданої таблично визначимо параметри a, b та с квадратичноїемпіричної залежності y=ax2+bx+c.

За методом найменших квадратів для визначення параметрів a, b та с

для функції заданої таблично аналогічно до попереднього пункту 3.1

 

мінімізуємо функцію:

 

і одержуємо систему лінійних рівнянь:

.

Розглянемо числовий приклад залежності для якого в попередньому пункті 3.1 будувалось лінійне наближення і переконаємось, що збільшення степені многочлена у наближенні, а отже збільшення степенів свободи, дозволяє зменшити похибку апроксимації.

Нехай задано таблицю значень функції:

x -1        
y   -3 -1    

При обчислення коефіцієнтів системи та для визначення розв’язку можна скористатись Exel таблицею:

i x y x2 x3 x4 xy yx2
  -1     -1   -14  
    -3       -3 -3
    -1       -3 -9
               
Сума              
               

Записуємо систему лінійних рівнянь:

Розв’язок системи: a =1,625; b =-7,3; c =4,475.

Методом найменших квадратів побудована емпірична залежність: y = 1,625 x 2 - 7,3 x + 4,475.

Побудуємо графік визначеної параболи і точкової функціональної залежності заданої в табличній формі в умові завдання (рис.3). Оскільки параметри визначено методом найменших квадратів то сумарне відхилення точок від параболи є мінімальним.

 

 

Рис. 3.

В Maple залежності методом найменших квадратів вищих степенів будуємо операторами вже описаними в пункті 3.1:

>

>

>

3.3 Метод найменших квадратів визначення параметрів

степеневої емпіричної залежності y=kxm

 

 


Числові методи побудови розв’язку задачі Коші





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-10-19; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 540 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Самообман может довести до саморазрушения. © Неизвестно
==> читать все изречения...

1032 - | 880 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.