Теорема про вкладені відрізки

Нехай задана послідовність відрізків

 

, де (4)

 

для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростанні довжина -ного відрізка прямує до нуля, тобто . Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.

Теорема. Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.

Доведення. З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність

 

, (5)

 

а праві – незростаючу

 

. (6)

 

При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і . Отже, ці послідовності мають границі. Нехай . За умовою , а тому

 

.

 

Отже, . Покладемо . Тоді для всіх , тобто точка належить усім відрізкам (4).

Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точки і така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якого повинна виконуватися нерівність , з якої випливає, що , що суперечить умові.

Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів

 

(6)

 

яку б точку з інтервалу не взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).

 

 

ЛЕКЦІЯ 8

 

13. Теорема про вкладені відрізки.

14. Підпослідовність числової послідовності.

15. Теорема Больцано - Вейєрштрасса.

16. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

 

 

Теорема про вкладені відрізки.

Нехай задана послідовність відрізків

 

, де (4)

 

для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростанні довжина -ного відрізка прямує до нуля, тобто . Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.

Теорема. Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.

Доведення. З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність

 

, (5)

 

а праві – незростаючу

 

. (6)

 

При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і . Отже, ці послідовності мають границі. Нехай . За умовою , а тому

.

 

Отже, . Покладемо . Тоді для всіх , тобто точка належить усім відрізкам (4).

Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точки і така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якого повинна виконуватися нерівність , з якої випливає, що , що суперечить умові.

Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів

 

(6)

 

яку б точку з інтервалу не взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).