Функція 
називається неперервною в точці 
,якщодля довільного числа 
існує число 
таке, що для всіх 
, які задовольняють умову 
, виконується нерівність 
.
Наведені означення рівносильні.
Функція називається неперервною в точці справа (зліва), якщо 
.
Отже, функція неперервна в точці , якщо вона неперервна в цій точці як справа, так і зліва.
Покажемо, що неперервна функція характеризується тим, що нескінченно малому приростові аргументу 
відповідає нескінченно малий приріст функції 
.
Дійсно, умову 
можна записати як 
. Тоді
.
Отже, можна дати наступне означення неперервності функції в точці . Функція називається неперервною в точці , якщо нескінченно малому приростові аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.
Уведене поняття неперервності функції є локальною (місцевою) властивістю. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу 
, то говорять, що вона неперервна на інтервалі . Якщо при цьому в точці 
функція неперервна справа, а в точці 
– неперервна зліва, то говорять, що функція неперервна на відрізку 
.
Зауважимо, що термін неперервної кривої походить із поняття неперервної функції. Графіком неперервної на функції є неперервна крива ("суцільна крива").
Операції над неперервними функціями
Теорема. Якщо функції 
неперервні в точці , то функції 
у точці також неперервні.
Доведення цієї теореми безпосередньо випливає з означення неперервності функції в точці та властивостей границь.
Теорема (про неперервність складеної функції). Якщо функція неперервна в точці , а функція 
неперервна в точці 
, причому 
, то складена функція 
неперервна, як функція від 
, у точці .
Доведення. Нехай задано довільне число . Тоді за неперервністю функції у точці знайдеться число 
таке, що для всіх , які задовольняють умову 
.
Для числа 
за неперервністю функції 
у точці знайдеться число таке, що 
для всіх , які задовольняють умову 
.
Отже, для довільного числа знайдеться число таке, що з умови випливає нерівність 
, а це означає, що функція неперервна в точці .
Можна довести, що всі елементарні функції в області їх визначення неперервні.
Звернемо увагу на те, що з означення неперервності функції у точці випливає
.
Наведемо приклади деяких важливих границь, обчислення яких спирається на неперервність елементарних функцій.
1) 
.
Доведення.
.
Якщо 
, то маємо: 
, тобто при 
виконується 
.
2) 
.
Доведення. Покладемо 
. Тоді 
. Якщо , то 
і 
.
.
Якщо , то маємо: 
, тобто при справедливо 
.
3) 
.
Доведення. Покладемо 
. Якщо , то 
і 
.
Далі 
. Звідси маємо: 
. Тоді
Розглянемо степенево-показниковий вираз 
. Нехай 
. Запишемо
.
Оскільки 
, то 
. Звідси маємо
.
Зазначимо, що вирази 
є не визначеними. Для знаходження відповіді на питання, що є границею виразу , у цих випадках недостатньо знати лише границі функцій 
, потрібно знати закон, за яким вони прямують до своїх границь.
3. Класифікація точок розриву функції.
