Теорема. Якщо елементи збіжної послідовності 
, починаючи з деякого номера 
, задовольняють нерівність 
, то і границя цієї послідовності задовольняє нерівність 
.
Доведення. Нехай, починаючи з деякого номера , елементи збіжної послідовності задовольняють нерівність 
і 
. Припустимо, що 
. Оскільки , то для 
існує номер 
такий, що для 
виконується нерівність 
, яка рівносильна нерівності 
. Тоді із нерівності 
одержуємо: 
, що суперечить умові. Отже, 
.
Випадок 
доводиться аналогічно.
Наслідок 1. Якщо елементи збіжних послідовностей і 
, починаючи з деякого номера , задовольняють нерівність 
, то 
.
Нехай, починаючи з деякого номера, виконується нерівність 
. Тоді для таких 
. Отже, 
, а тому 
. Звідси маємо 
. Другий випадок установлюється аналогічно.
Теорема. Нехай члени послідовностей , , 
, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівність 
і 
. Тоді послідовність збіжна й 
.
Доведення. Задамо довільне число 
. Тоді для заданого 
знайдеться такий номер 
, що для виконуватиметься нерівність 
, тобто 
. Для цього ж знайдеться такий номер 
, що 
для , тобто 
.
Виберемо 
. Тоді виконуватиметься нерівність
для всіх .
Ураховуючи умову теореми, маємо 
або 
, тобто 
для всіх . Звідси випливає, що .
Монотонні послідовності
Послідовність називається неспадною (незростаючою), якщо виконується нерівність 
для усіх .
Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.
Якщо для всіх членів монотонної послідовності виконується строга нерівність 
, то послідовність називається зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називаються також строго монотонними.
З означення випливає, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони: неспадна обмежена знизу, а незростаюча – зверху.
Теорема. Монотонна обмежена послідовність збіжна.
Доведення. Розглянемо випадок неспадної послідовності .
Отже, нехай для усіх виконуються наступні умови:
1) 
;
2) існує таке число 
, що 
.
Розглянемо числову множину 
, яка складається з усіх елементів послідовності . За умовою ця множина непорожня і обмежена зверху, а тому має точну верхню межу.
Позначимо 
. Покажемо, що .
Оскільки 
- точна верхня межа елементів послідовності , то, згідно з властивістю точної верхньої межі, для будь-якого 
існує номер такий, що 
. Так як послідовність неспадна, то при виконується нерівність 
. З іншого боку, згідно з означенням точної верхньої межі, 
для всіх . Таким чином, при маємо нерівність , тобто при . Отже, .
Для випадку незростаючої послідовності доведення аналогічне.
*** Із теорем 2.5** і 2.8** випливає, що обмеженість монотонної послідовності є необхідною і достатньою умовою її збіжності.
Число е
Розглянемо послідовність з загальним членом 
. Покажемо, що ця послідовність є збіжною. Для цього спочатку установимо, що вона зростаюча, а потім – що вона обмежена.
Згідно формули бінома Ньютона
Подамо цей вираз у наступному вигляді
(3)
Так само одержуємо
.
При 
виконується нерівність 
, тому 
, тобто послідовність зростаюча.
Оскільки кожний вираз, який стоїть у дужках у формулі (3) менший від одиниці і 
при 
, то
.
За формулою суми нескінченно спадної геометричної прогресії маємо
.
Отже, послідовність обмежена. Таким чином, послідовність із загальним членом збіжна. За означенням границю цієї послідовності позначають буквою 
, тобто
.
