Уравнение f(x)=0 называется алгебраическим уравнением n-й степени, если f(x) является полиномом,
Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным. Любое значение A, обращающее функцию f(x) в нуль называется корнем уравнения f(x)=0.
Для алгебраических уравнений, степень которых выше четырех, не существует формул, которые выражали бы величины корней через коэффициенты уравнений. Сравнительно редко удается найти точное значение корней и трансцендентных уравнений. Поэтому, важное значение приобретают методы приближенного нахождения корней уравнения и оценка степени их точности.
Сам процесс вычисления корней состоит из двух операций:
1) отделение корней, т.е. установление возможно тесных промежутков [a,b], в которых содержится один и только один корень уравнения;
2) уточнение приближенных корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.
Для отделения корней часто используют теорему Больцано-Коши.
Теорема: Если непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков на концах отрезка [a,b] то внутри этого отрезка содержится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Корень заведомо будет единственным, если производная f'(x) существует и сохраняет знак внутри интервала [a,b].
Отделение корней уравнения f(x)=0 можно выполнить графически, построив график функции f(x), по которому можно судить о том, в каких промежутках находятся точки пересечения его с осью 0х. В некоторых случаях целесообразно представить исходное уравнение в эквивалентном виде: с таким расчетом, чтобы графики функций y=f1(x) и y=f2(x) строились проще, чем график y=f(x). Корень уравнения f(x)=0 представляет собой абсциссу точки пересечения графиков y=f1(x) и y=f2(x).
Пример. Отделить корни уравнения
Решение. 1-способ. В данном случае f(x)=x 3+2 х -1, . Поскольку f'(x >0 при всех x, то функция f(x) возрастает в промежутке
Корень считается отделенным, если указан конечный промежуток [a,b], на котором он находится.
Методом проб находим отрезок [a,b], для которого на концах отрезка функция f(x) принимает значения разных знаков. Для этого вычислим значения функции при некоторых значениях аргумента
f(-1)=-4<0, f(0)=-1<0, f(1)=2>0.
Согласно теореме Больцано-Коши корень находится на отрезке [0,1], причем он единственный, т.к. производная f'(x)>0 сохраняет знак внутри интервала [0,1].
|
2-способ. Корень данного уравнения можно отделить и графически. Придадим уравнению вид х3=-2х+1, т. е.
вид f1(x)=f2(x), и построим графики
функций у=х3 и y=-2 х +1.
Эти графики пересекаются в точке М, абсцисса которой принадлежит интервалу (0,1).
Задания. Выполнить задание 2.1 ИДЗ№1.
