Занятие № 2. Решения алгебраических уравнений. Отделение корней

Уравнение f(x)=0 называется алгебраическим уравнением n-й степени, если f(x) является полиномом,

Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным. Любое значение A, обращающее функцию f(x) в нуль называется корнем уравнения f(x)=0.

Для алгебраических уравнений, степень которых выше четырех, не существует формул, которые выражали бы величины корней через коэффициенты уравнений. Сравнительно редко удается найти точное значение корней и трансцендентных уравнений. Поэтому, важное значение приобретают методы приближенного нахождения корней уравнения и оценка степени их точности.

Сам процесс вычисления корней состоит из двух операций:

1) отделение корней, т.е. установление возможно тесных промежутков [a,b], в которых содержится один и только один корень уравнения;

2) уточнение приближенных корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Для отделения корней часто используют теорему Больцано-Коши.

Теорема: Если непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков на концах отрезка [a,b] то внутри этого отрезка содержится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Корень заведомо будет единственным, если производная f'(x) существует и сохраняет знак внутри интервала [a,b].

Отделение корней уравнения f(x)=0 можно выполнить графически, построив график функции f(x), по которому можно судить о том, в каких промежутках находятся точки пересечения его с осью 0х. В некоторых случаях целесообразно представить исходное уравнение в эквивалентном виде: с таким расчетом, чтобы графики функций y=f₁(x) и y=f₂(x) строились проще, чем график y=f(x). Корень уравнения f(x)=0 представляет собой абсциссу точки пересечения графиков y=f₁(x) и y=f₂(x).

Пример. Отделить корни уравнения

Решение. 1-способ. В данном случае f(x)=x ³+2 х -1, . Поскольку f'(x >0 при всех x, то функция f(x) возрастает в промежутке Корень считается отделенным, если указан конечный промежуток [a,b], на котором он находится.

Методом проб находим отрезок [a,b], для которого на концах отрезка функция f(x) принимает значения разных знаков. Для этого вычислим значения функции при некоторых значениях аргумента

f(-1)=-4<0, f(0)=-1<0, f(1)=2>0.

Согласно теореме Больцано-Коши корень находится на отрезке [0,1], причем он единственный, т.к. производная f'(x)>0 сохраняет знак внутри интервала [0,1].

2-способ. Корень данного уравнения можно отделить и графически. Придадим уравнению вид х³=-2х+1, т. е.

вид f₁(x)=f₂(x), и построим графики
функций у=х³ и y=-2 х +1.

Эти графики пересекаются в точке М, абсцисса которой принадлежит интервалу (0,1).

Задания. Выполнить задание 2.1 ИДЗ№1.