Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области

Геометрическая постановка задачи. Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными.

Последовательность действий:

1. Построить область допустимых решений системы линейных неравенств

Если область непустая, то можно говорить о целесообразности нахождения в ней наибольшего и наименьшего значений функции.

 

В

 

A

 

х

 

 

2. Построить градиент и одну из линий уровня функции .

3. Параллельным перемещением прямой в направлении вектора геометрически найти две точки:

· точку А «входа» в область. Эта точка определяет точку наименьшего значения функции ;

· точку В «выхода» из области. Эта точка определяет точку наибольшего значения функции .

4. Найти координаты точки А, решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке А, и вычислить наименьшее значение функции . Аналогично – для точки В и наибольшего значения функции .

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области решений системы линейных неравенств

Решение. Построим область решений системы линейных неравенств. Для этого построим полуплоскости и найдём их пересечение. В качестве контрольной точки возьмём точку , которая не принадлежит граничным прямым.

у

1

О 2 x

Прямая () , точки для построения и . Так как верно, то полуплоскость обращена в сторону точки .

Прямую () строим по точкам и ; неравенство верное, полуплоскость направлена к началу координат.

Прямая () построена по точкам и ; полуплоскость обращена в сторону .

Неравенства и показывают, что искомая область (пересечение всех полуплоскостей) находится в первой координатной четверти.

2. Построим градиент функции – вектор с координатами с началом в точке . Перпендикулярно градиенту построим одну из линий уровня.

3. Параллельным движением линии уровня в направлении градиента найдем точку ее «входа» в область – это точка О(0,0). Вычислим значение функции в этой точке: .

4. Продолжая движение линии уровня в направлении градиента , найдем точку «выхода» линии уровня из области – это точка А. Для определения её координат решим систему уравнений прямых и : Решение системы уравнений и .

5. Вычислим значение функции в точке : .

Ответ: , .

 

Контрольные вопросы по теме 3:

1. В чём заключается геометрический смысл функции двух переменных?

2. Приведите схему графического решения линейного неравенства с двумя переменными.

3. Как построить многоугольник решений?

4. Опишите основные этапы графического решения задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области.