Тема 3. Геометрическая интерпретация функций двух переменных, геометри-ческий метод решения задачи на наибольшее и наименьшее значения

График функции двух переменных. Линии уровня. Частные производные первого порядка и градиент функции двух действительных переменных. Свойства градиента. Графическое решение системы линейных неравенств. Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области.

Основные термины: график, прямая, плоскость, линии уровня, частные производные, градиент, многоугольник решений.

1) Функцией двух переменных называется правило , по которому каждой упорядоченной паре чисел из некоторого множества поставлено в соответствие единственное число из множества .

Для функции двух переменных областью определенияявляется некоторое множество точек на плоскости , а областью значений – промежуток на оси .

Графиком функции двух переменных является поверхность в трехмерном пространстве, состоящая из точек , где пары принадлежат области определения функции .

Для наглядного представления функции двух переменных применяются линии уровня. Линией уровня функции называется множество таких точек в области определения (на плоскости ), для которых значение функции постоянно и равно . т.е. .

Пример. Для функции построить график и линии уровня. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку .

Графиком линейной функции является плоскость в пространстве. Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки , , .

Линиями уровня функции являются параллельные прямые, уравнение которых . Для линейной функции двух переменных линии уровня задаются уравнением и представляют собой семейство параллельных прямых на плоскости.

Y

4 4

0 1 2 Х

График функции

Линии уровня функции

2) Градиент функции двух переменных

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке , координаты которого равны значениям частных производных в точке : .