Тема 1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значения функции. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

Основные термины: наибольшее значение функции, наименьшее значение функции, стационарная точка, критическая точка.

Говорят, что функция , определенная на промежутке , достигает на нём своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка , принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех выполняется неравенство .

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке :

1. найти ;

2. найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;

3. вычислить значения функции в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке , которые можно обозначить так: , .

Если поставлена задача найти , для непрерывной на функции , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка . Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на промежутке полезны два утверждения:

1. если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причём это точка максимума, то – наибольшее значение функции на промежутке Х;

2. если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причём это точка минимума, то - наименьшее значение функции на промежутке Х.

Пример 1. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке Х.

Решение. Исследуемая функция дифференцируема и непрерывна на отрезке, поэтому

1. Найдем производную: .

2. Найдём стационарные точки (в них производная обращается в нуль).

Точки – точки возможного экстремума. При этом , .

3. Найдём значения функции в точке и на концах отрезка и выберем среди них наибольшее и наименьшее значения. Так как , , то , .

Пример 2. Найти наибольшее значение функции .

Решение.

1. Найдём производную функции: .

2. Найдём стационарные точки: . В точке – производная не существует, однако . Таким образом, на заданном множестве существует единственная точка, подозрительная на экстремум.

3. Составим таблицу:

x	(0,1)
	+		–
		max	¯

Видим, что – точка максимума функции. Так как – единственная точка максимума, то .

1) Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения на данном промежутке:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , .

2) Найти точку графика функции , сумма расстояний, от которой до оси ординат и до прямой наименьшая.

3) Из гранита нужно вырубить постамент в форме прямоугольного параллелепипеда, высота которого, должна быть равна диагонали основания, а площадь основания – 4 кв.м. При каких значениях сторон основания площадь поверхности постамента наименьшая.

4) Определить значение параметра а так, чтобы сумма квадратов корней трехчлена была наименьшей.

5) Найти все значения а из промежутка , при каждом из которых больший корень уравнения принимает наибольшее значение.

Контрольные вопросы по теме 1:

1. Что понимается под наименьшем значением функции?.

2. Что понимается под наибольшим значением функции?

3. В каких точках промежутка функция может принимать оптимальные значения?

4. Чем отличается алгоритм нахождения оптимальных значений функции на отрезке от алгоритма нахождения оптимальных значений функции на интервале?

Тема 2. Локальный экстремум функций многих переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области. Условный экстремум

Понятие локального экстремума функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума функции двух переменных. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции в ограниченнойзамкнутой области. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Основные термины: точка локального минимума, точка локального максимума, квадратичная форма, дифференциал второго порядка, условный экстремум, уравнения связи, функция Лагранжа.

1) Рассматривается функция , определенная на множестве .

Определение 1. Точка называется точкой локального экстремума, если

(max),

либо

(min).

Из определения следует, что приращение функции не меняет знак в окрестности точки экстремума: если , то в точке максимум, если – минимум.

Теорема 1 (необходимое условие локального экстремума). Пусть функция имеет в точке локальный экстремум. Если у неё в этой точке существуют частные производные, то они равны нулю.

Определение 2. Точка, в которой все частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной.

Определение 3. Точка, в которой все частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует называется критической.

Замечание 1. Функция, дифференцируемая в стационарной точке, имеет в ней дифференциал равный нулю. Верно и обратное утверждение: из равенства нулю дифференциала в некоторой точке следует стационарность этой точки.

Замечание 2. Условия теоремы 1 не являются достаточными. Рассмотрим функцию . Точка является для этой функции стационарной, так как в этой точке обе ее частные производные первого порядка и равны нулю. Однако она не будет точкой экстремума. Действительно, , но в любой окрестности точки есть точки, в которых функция принимает положительные значения и точки, в которых функция принимает отрицательные значения. В этом легко убедиться, если построить график функции – гиперболический параболоид.

Теорема 2 (достаточное условие локального экстремума). Пусть функция u (x) дважды дифференцируема в стационарной точке. Если второй дифференциал в этой точке есть знакопостоянная квадратичная форма от дифференциалов независимых переменных, то функция в ней имеет экстремум: максимум, если в точке и минимум, если .

Для функции двух переменных наиболее удобные достаточные условия дает следующий вариант этой теоремы:

Теорема 2 (достаточное условие локального экстремума функции двух переменных). Пусть – критическая точка функции и в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим

, , .

Тогда

1) если , то точка не является точкой экстремума;

2) если и , то в точке функция имеет минимум;

3) если и , то в точке функция имеет максимум;

4) если , то никакого заключения о критической точке сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.

Пример. Найдите экстремумы функций:

1) ; 2) .

Решение. 1) Функция определена всюду. Её частные производные первого порядка и тоже существуют всюду. Решая систему уравнений , найдём две критические точки и .

Для исследования критических точек применим теорему 2. Имеем

, , .

Исследуем точку :

, , ,

; .

Следовательно, в точке данная функция имеет минимум, а именно .

Исследуем критическую точку :

, , , .

Следовательно, вторая критическая точка не является точкой экстремума функции.

2) Функция определена всюду. Её частные производные первого порядка и тоже существуют всюду. Решая систему уравнений , найдём единственную критическую точку .

Для исследования критической точки попытаемся применить теорему 2. Имеем

, , ,

, , .

Установить наличие или отсутствие экстремума в точке с помощью теоремы 2 не удалось.

Исследуем знак приращения функции в точке :

Если , то ; если , то . Поскольку не сохраняет знак в окрестности точки , то в этой точке функция не имеет экстремума.

2) Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции в ограниченнойзамкнутой области сводится к решению трёх задач:

1. Определение стационарных точек внутри области.

2. Определение стационарных точек на границе области.

3. Выбор наибольшего и наименьшего значений функции в этих точках.

Рассмотрим поставленную задачу на примере функции двух переменных. Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y), определенную в замкнутой области с границей , либо _.

1. Решаем систему _.

2. Решаем уравнение , или .

3. Выбираем наибольшее и наименьшее значения функции в полученных точках.

Пример. z = x ² y; γ: x ² + y ² = 1.

1. Стационарные точки (0; у), . (Нестрогий экстремум.)

2. ; ; .

3. , .

3) Условный экстремум. Рассмотрим функцию

(1)

при условии, что её аргументы являются не независимыми переменными, а связаны между собой соотношениями :

(2)

Эти соотношения называются условиями связи. (В экономике функцию и называют целевой, а уравнения связи − ограничениями). Пусть координаты точки удовлетворяют уравнениям (2).

Определение. Функция (1) имеет в точке условный минимум (максимум) при условиях связи (2), если существует такая окрестность точки , что для любой точки () этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям (2), выполняется неравенство .

Иными словами, условный максимум (минимум) – это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки , а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи.

Задачу об условном экстремуме функции можно решать методом исключения части переменных. Этот метод состоит в том, что из уравнений условий связи переменных выражают через остальные переменных (если это возможно), подставляют найденные переменные в функцию и решают задачу об экстремуме функции переменных.

Пример. Методом исключения части переменных найти экстремум функции при условиях связи

Решение. Из условий связи находим . Подставляя найденные в функцию, приходим к функции одной переменной : , для которой рассмотрим задачу о безусловном экстремуме. Так как при , то функция имеет единственную точку возможного экстремума. Поскольку в точке функция имеет минимум. Из условий связи находим соответствующие значения : . Итак, функция при заданных условиях связи имеет в точке (–1,1,0) минимум, причём

Метод Лагранжа. Задача об условном экстремуме функции (1) при условиях связи (2) эквивалентна задаче об обычном экстремуме функции Лагранжа

( – называются множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума

выражаются системой уравнений:

(3)

относительно неизвестных . Если – решение системы (3), то является точкой возможного экстремума функции (1) при условиях связи (2).

Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака второго дифференциала функции Лагранжа

Для каждой системы значений , полученной из (3) при условии, что удовлетворяют уравнениям

(4)

при

Функция имеет условный максимум в точке , если для всевозможных значений , удовлетворяющих условиям (4) и не равных одновременно нулю, выполняется неравенство (квадратичная форма отрицательно определена) и условный минимум, если при этих условиях (квадратичная форма положительно определена) то в точке функция (1) имеет условный минимум при условии связи (2), если - знакопеременная квадратичная форма, то в точке функция (1) не имеет

условного экстремума.

Пример 1. Методом Лагранжа найти экстремум функции при условиях связи

Решение. Составим функцию Лагранжа

и рассмотрим систему уравнений

Она имеет единственное решение то есть – единственная точка возможного экстремума функции при заданных условиях связи. Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа и подставляя и , найденное из первого уравнения связи, получаем положительно определенную квадратичную форму от переменной при . Отсюда следует, что функция при заданных условиях связи имеет в точке условный минимум.

Пример 2. На эллипсоиде найти точку, наиболее удаленную от точки (0,0,3).

Решение. Расстояние между точками и (0,0,3) определяется формулой . Поэтому исходная задача равносильна задаче об условном максимуме функции при условии связи . Составим функцию Лагранжа

и рассмотрим систему уравнений:

Так как эллипсоид более всего вытянут вдоль оси , то абсцисса искомой точки не может быть равна нулю, то есть . Поэтому из первого уравнения системы следует, что . Тогда из второго и третьего уравнений системы имеем Из последнего уравнения системы находим Итак, функция имеет две точки возможного экстремума . Из уравнения связи получим , откуда Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа

Подставим , координаты точки и выражение для , получаем отрицательно определенную квадратичную форму от двух переменных : . Отсюда следует, что функция имеет в точках условный максимум при заданных условиях связи, то есть на эллипсоиде имеются две точки наиболее удаленные от точки (0,0,3).

Замечание. Очевидно, задачи условного экстремума и нахождения наибольшего и наименьшего значений в ограниченной замкнутой области тесно связаны.

Пример 3. u = x − 2 y + 2 z; x ² + y ² + z ² − 9 = 0.

Стационарные точки:

Достаточные условия:

Таким образом, в т. Р₁ − минимум; в т. Р₂ − максимум.

Замечание. В данной задаче второй дифференциал всегда является знакопостоянной квадратичной формой от Поэтому соотношение между дифференциалами:

не использовались при исследовании достаточного условия. Однако, в случае знакопеременного второго дифференциала указанные соотношения учитывать необходимо.