Графическое решение системы линейных неравенств

Для графического решения данной задачи необходимо уметь решать графически системы линейных неравенств с двумя переменными.

Решением линейного неравенства с двумя переменными называется множество пар значений переменных , которые удовлетворяют неравенству. Геометрически решением линейного неравенства является полуплоскость, границей которой является прямая .

Порядок действий:

1) записать уравнение и построить на плоскости граничную прямую;

2) выбрать искомую полуплоскость, координаты точек в которой удовлетворяют заданному неравенству. Для этого подставляют в неравенство координаты точки с известными координатами , не лежащей на граничной прямой. Если получится верное числовое неравенство, то искомая полуплоскость та, которая содержит точку (в противном случае берется другая полуплоскость). Плоскость выделяется штриховкой.

 

 

 

0

 

Отметим, что неравенство определяет правую координатную полуплоскость (от оси ), а неравенство – верхнюю координатную полуплоскость (от оси ).

Пример. Решить графически неравенство .

Запишем уравнение граничной прямой и построим её по двум точкам, например, и . Прямая делит плоскость на две полуплоскости.

 

 

0 2

 

–4

 

 

Координаты точки удовлетворяют неравенству ( – верно), значит, и координаты всех точек полуплоскости, содержащей точку , удовлетворяют неравенству. Решением неравенства будут координаты точек полуплоскости, расположенной справа от граничной прямой , включая точки на границе. Искомая полуплоскость на рисунке выделена.

Решением системы линейных неравенств называется множество пар значений переменных , которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам. Геометрически решением системы линейных неравенств является область на плоскости, координаты точек которых лежат в пересечении полуплоскостей.

Решение системы неравенств называется допустимым, если его координаты неотрицательны , . Множество допустимых решений системы неравенств образует область, которая расположенав первой четверти координатной плоскости.

Пример. Построить область решений системы неравенств

Решениями неравенств является:

1) – полуплоскость, расположенная левее и ниже относительно прямой () ;

2) – полуплоскость, расположенная в правой-нижней полуплоскости относительно прямой () ;

3) – полуплоскость, расположенная правее прямой () ;

4) – полуплоскость выше оси абсцисс, то есть прямой () .

 

 

3

1 В

0

Область допустимых решений данной системы линейных неравенств – это множество точек, расположенных внутри и на границе четырехугольника , являющегося пересечением четырех полуплоскостей.

Геометрическое изображение линейной функции (линии уровня и градиент)

Зафиксируем значение , получим уравнение , которое геометрически задаёт прямую. В каждой точке прямой функция принимает значение и является линией уровня. Придавая различные значения, например, ,..., получим множество линий уровня – совокупность параллельных прямых.

Построим градиент – вектор , координаты которого равны значениям коэффициентов при переменных в функции . Данный вектор: 1) перпендикулярен каждой прямой (линии уровня) ; 2) показывает направление возрастания целевой функции.

Пример. Построить линии уровня и градиент функции .

 

 

Линии уровня при , , – это прямые , , , параллельные друг другу. Градиент – это вектор , перпендикулярный каждой линии уровня.