С двумя переменными

Графический метод решения ЗЛП удобно применять в том случае, если ограничения записаны в стандартной форме, а число переменных- две.

Графически решить задачу линейного программирования при следующих условиях:

.

Областью решения линейного неравенства с двумя переменными является полуплоскость, лежащая по одну сторону граничной прямой. Уравнение этой прямой получается, если в соответствующем ограничении заменить знак неравенства знаком равно. Для данной системы неравенств получим уравнения четырёх граничных прямых.

Придавая поочерёдно переменным , а затем значение, равное нулю, находим координаты точек пересечения прямых с осями координат. Например, прямая пересекает оси координат в точках (0;10) и (5;0). Прямая отсекает на оси отрезок 20, а на оси отрезок 10. Последовательно строим все границы области.

Для того, чтобы определить расположение соответствующей полуплоскости относительно граничной прямой, подставляем координаты любой точки, не лежащей на прямой (проще всего точку ) в левую часть соответствующего неравенства. Например, после подстановки в неравенство координат 0 и 0, получаем неверное неравенство . Поэтому области решения неравенства начало осей координат не принадлежит, а принадлежит полуплоскость, расположенная выше и левей прямой . А области решения неравенства начало осей координат принадлежит. Значит, принадлежит области решения неравенства вся нижняя левая часть полуплоскости относительно прямой .

Многоугольником допустимых решений является общая часть всех выбранных полуплоскостей, т.е. четырёхугольник АВСD. Координаты вершин четырёхугольника, являющиеся опорными планами, найдем, решая совместно соответствующие пары линейных уравнений.

В вершине А пересекаются прямые и . Координаты вершины А найдём из решения системы уравнений:

А(0;10).

В вершине В пересекаются прямые и . Координаты В находим из решения системы уравнений:

В(8;6).

Аналогично находим координаты остальных вершин. Координаты вершины С:(14;0); вершины D:(2;6). Строим многоугольник решений.

Из начала осей координат проведем вектор , координаты которого равны коэффициентам при соответствующих переменных в целевой функции. Вектор указывает направление наиболее быстрого возрастания целевой функции. На прямых, перпендикулярных вектору , целевая функция сохраняет постоянное значение. Эти прямые называются линиями уровня. В данной задаче одна из линий уровня совпадает с прямой AD : . В каждой точке этой прямой значение целевой функции постоянно и равно Это наименьшее значение целевой функции в области допустимых планов. Проекция точки С на вектор максимальна, поэтому в точке С целевая функция принимает максимальное значение: . Дополнительно определим значение целевой функции в вершине В. Это значение является промежуточным. Задача ЛП графическим методом решена.