Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка

Введенные нами основные понятия векторного анализа: градиент, дивергенция, ротор – удобно представлять с помощью символического вектора («набла-вектор»):

1) Произведение набла-вектора на скалярную функцию u(P) дает градиент этой функции:

2) Скалярное произведение набла-вектора на векторную функцию дает дивергенцию этой функции:

3) Векторное произведение набла-вектора на векторную функцию дает ротор этой функции:

Набла-вектор называют оператором Гамильтона.

Действия взятия градиента, дивергенции и ротора будут векторными дифференциальными операциями первого порядка. В них участвуют только первые производные от скалярных функций.

Перейдем теперь к векторным дифференциальным операциям второго порядка.

Пусть имеется скалярное поле u(P) и мы нашли градиент этого поля grad u. Поле градиента является векторным полем, и мы можем искать его дивергенцию и ротор: div grad u и rot grad u.

Если имеется векторное поле , то оно порождает два поля: скалярное поле и векторное поле . Следовательно мы можем находить градиент первого поля: и дивергенцию и ротор второго поля: и . Всего мы имеем пять векторных дифференциальных операций второго порядка. Особенно важными из них являются три, рассмотрим их.

а)

Действительно

Правая часть называется оператором Лапласа от функции u и обозначается

С помощью набла-вектора можно записать так:

б) с помощью набла-вектора можно записать так:

векторное произведение одинаковых векторов = 0

в) с помощью набла-вектора можно записать так:

Имеем смешанное произведение трех векторов, из которых два вектора одинаковы. В этом случае такое произведение равно нулю.

Остальные две векторные операции второго порядка: и - встречаются реже.