Циркуляция и ротор векторного поля

Рассмотрим векторное поле

Возьмем в этом поле некоторую кривую L.

- вектор, имеющий направление касательной к

линии L.

Тогда (1)

выражает работу при перемещении материальной точки вдоль линии L.

Если - произвольное векторное поле, а L – замкнутый контур, то интеграл (1) носит специальное название – циркуляция вектора.

Определение. Циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура L называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора на вектор касательной к контуру.

Установим физический смысл циркуляции вектора в случае, когда - поле скоростей текучей жидкости.

Пусть контур L – окружность, расположенная в некоторой плоскости. Предположим, окружность является периферией колесика с радикальными лопатками, могущего вращаться вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости.

Если циркуляция = 0, то колесико будет оставаться неподвижным: силы, действующие на лопатки, уравновешивают друг друга.

Если циркуляция 0, то колесико будет вращаться, причем тем быстрее, чем больше величина циркуляции.

В случае произвольного векторного поля отношение циркуляции по плоскому контуру L к площади S, ограниченной этим контуром будет величиной переменной.

Вычислим

По формуле Стокса

где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы нормали , а σ – область, ограниченная контуром L. Последний интеграл по теореме о среднем равен произведению подинтегральной функции в некоторой т. Р₁ обл. σ на величину S площади этой области.