Векторный потенциал 
(М) определяется с точностью до градиента произвольного соленоидального поля f(М).
В самом деле, если rot 
(М)= 
(М) и f(M) – произвольное скалярное поле, то поскольку rot grad f(M) =0, получаем rot( (М)+grad f(M)) = rot (М)+ rot grad f(M)= (М).
Для того чтобы непрерывно дифференцируемое поле (М) было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело векторный потенциал (М). Необходимость этого условия является следствием разрешимости системы дифференциальных уравнений:
(1)
при условии div = 0 (
).
Покажем как можно найти векторный потенциал (М). поскольку в выборе этого вектора имеется значительная доля произвола примем Ax= 0. Тогда система (1) примет вид
(2)
Таким образом, задача сводиться к определению функции Ay и Az, удовлетворяющих условиям (2) при условии, что известные функции P, Q, R таковы, что div = 0. Пусть М0(x0,y0,z0) – фиксированная, М(x,y,z) – произвольные точки параллелепипеда W.
 |
Рис. 6.
Рассмотрим функции
Ay(x,y,z)= 
Az(x,y,z)= 
(3)
Условие задания поля (М) в параллелепипеде с гранями, параллельными плоскостям координат, гарантирует, что пути интегрирования в этих формулах не выйдут за пределы поля. Применяя правила дифференцирования определенного интеграла по параметру и по верхнему пределу и принимая во внимание условие div = 0, получим, что обе функции Ay и Az, определенные равенствами (3) удовлетворяют и первому из условий (2). Таким образом, = Ах 
+ Ay 
+Az 
, координаты Ay и Az определяются формулами (3). Для этого вектора выполняется условие rot = 
.
 |
74. Найти векторный потенцал
для соленоидального поля, задаваемого вектором а = 2у i - z j + 2х k.
Ответы:
10. Область определения – круг x2+y2 £9; линии уровня – семейство концентрических окружностей
x2+y2= 9 –с2 (| с | £ 3).
11. Поле определено во всем пространстве, за исключением точки r =0; поверхности уровня –сферы r=c c центром в точке, где находится заряд.
12.Поле определено в области z2+y2–x2 ³0;поверхности уровня – круговые конусы а2(z2+y2)–x2 =0 (| а | £ 1).
13. Линии уровня u=c представляют собой семейство гипербол x2–y2 =(–1) n arcsin c + p n, где n– целое число.
14. Поле определено во всем пространстве, за исключением плоскости z= 0; поверхности уровня – параболоиды вращения x2 +y2=сz (–¥< c <¥).
15. а) –4 +2 –4 . б) 12 – ; в) 
+ 
.
16. Прямые, проходящие через начало координат.
17. x2 -y2=с; z=h.
18. x3 +y3=c1; z3 +y3=c2.
19. y=c1z; x2 +y2+ z2= c2y.
20. Окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к прямой, проходящей через начало координат и имеющей направление вектора 
; центры этих окружностей лежат на этой прямой.
22. Окружности с центром на оси Оy, проходящей через начало координат.
23. Направление наибыстрейшего возрастания функции в точке (0,0) совпадает с положительным направлением оси Оy.
24. 1) tgj»0,342, j»18052’; 2) tgj»4,87, j»78024’.
25. Отрицательная полуось оси Оy.
26. 1) cosa»0,99; a=80; 2) cosa» –0,199; a=101030’;
30. Ц = –pb2.
31. Ц = –p.
32. Ц = 
R6
33. а) Ц =2p; б) Y=2p.
39. 
.
40. 
41.0.
42. 4pabc.
43. 
.
44. 
.
45. 1.
46. 
.
47. 
.
48. a) 4p a 3; б) 0. Дополните поверхность S до замкнутой; в)0; г) p. Дополните поверхность S до замкнутой; д)0; е) 
; ж) 3 а 4.
52. 
53. 
.
60. а) rot = –2cos(2 x–y–z)( +2 ); б) rot =x(z2-y2) + y(x2-z2) + z(y2-x2) ; в) rot = 
.
61. 
=20 +26 –24 .
62. 
.
63.–2 a 2.
64. а) Ц =2p; б) Ц =0.
68. 
.
69. 
(x3+ 2 y3+z3)+ 3 xyz + c.
70. 
71. Нет.
72. Потенциальными являются поля 
и 
.
73. 
(x,y,z)=xyz(x+y+z)+c, где с произвольная постоянная.
74. х2 j + (хz + y2) k.
Литература
1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. М.: Госкомвуз России, 2000.
2. Никольский С.М. Курс математического анализа, том. II- М.: Наука, 1973.
3. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. II.- М.: Наука, 1984
4. Уваров В.Б. Математический анализ. М.: Высш.шк.,1984.
5. Ефимов А.В. и др. Математический анализ (специальные разделы) ч.II. Применение некоторых методов математического и функционального анализа. - М.: Высш. шк., 1980.
6. Кальницкий Л.А и др. Специальный курс высшей математики для вутзов. М.: Высш. шк., 1976.
7. Несис Е.И. Методы математической физики. - М.: Просвещение, 1977.
8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1972.
9. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1985.
10. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных. - М.: Высш. шк.,1988.
11. Филиппенко В.И. Приложения кратных интегралов. – Кривой Рог, 1998.
12. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. – М.: Изд – во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.
