Упражнения. 68. Пусть – гравитационное поле (поле сил тяготения), которое представляет собой силу притяжения единичной массы

68. Пусть – гравитационное поле (поле сил тяготения), которое представляет собой силу притяжения единичной массы, помещенной в точку М, массой m, находящийся в начале координат. Сила определена во всех точках, кроме начала координат и образует векторное поле – поле тяготения точечной массы m. Показать, что поле потенциально во всем пространстве, кроме начала координат и найти его потенциал.

69. Проверить, что поле =( 3 yz+x²) + ( 2 y²+ 3 xz) +(z²+ 3 xy) является потенциальным, и найти его потенциал.

70. Доказать, что векторное поле = y² + 2 xy +z потенциально, и найти его потенциал.

71. Выяснить, является ли векторное поле = + +2 потенциальным.

72. Даны векторные поля: ₁=(y+z) + (x+z) +(x+y) ; ₂=f(x) + f₂(y) + f₃(z) ; ₃=x + y +y .

Выяснить какие из них являются потенциальными.

73. Проверить, будет ли потенциальным поле . В случае потенциальности поля найти его потенциал u(x,y,z).

а) =(-2x-yz) +(-2y-xz) +(-2z-xy) ;

б) =(2x-yz) +(2y-xz) +(2z-xy) ;

в) =(2x+yz) +(2y+xz) +(2z+xy) ;

г) =(2x-4yz) +(2y-4xz) +(2z-4xy) ;

д) =(2x-3yz) +(2y-3xz) +(2z-3xy) ;

е) =(-3x+yz) +(-3y+xz) +(-3z+xy) ;

ж) =(2x+2yz) +(2y+2xz) +(2z+2xy) ;

з) =(4x+yz) +(2y+xz) +(2z+xy) .