Лекции.Орг
 

Категории:


Электрогитара Fender: Эти статьи описывают создание цельнокорпусной, частично-полой и полой электрогитар...


Как ухаживать за кактусами в домашних условиях, цветение: Для кого-то, это странное «колючее» растение, к тому же плохо растет в домашних условиях...


Перевал Алакель Северный 1А 3700: Огибая скальный прижим у озера, тропа поднимается сначала по травянистому склону, затем...

Дифференциал функции и его геометрический смысл



Пусть дифференцируема на , – производная в некоторой точке отрезка.

Отношение при стремится к определенному числу . Следовательно, отличается от производной на бесконечно малую величину , то есть . при , умножим на :

. (1)

, при постоянном и переменном – бесконечно малая величина первого порядка относительно . Произведение – бесконечно малая высшего порядка относительно , так как

.

состоит из двух слагаемых, из которых первое слагаемое есть (при ), так называемая, главная часть приращения, линейная относительно . Произведение называется дифференциалом функции. Обозначение или .

.

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение.

,

, .

 

Дифференциал независимого переменного сравнивается с его приращением .

,

,

. (2)

Таким образом, приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую высшего порядка относительно . Если , то является бесконечно малой высшего порядка и относительно и

.

,

то есть

.

Выясним геометрический смысл дифференциала, для этого проведем к графику функции в точке касательную, – угол с осью (рис. 5).

Рисунок 5 –

Рассмотрим ординату этой касательной для точки . Отрезок является ординатой точки , ординатой касательной для точки . Назовем приращение ординаты касательной. Покажем, что оно равно .

Из треугольника : , . Согласно геометрическому смыслу производной, , следовательно,

.

Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной.

Пусть и дифференцируемые функции. Тогда

,

,

, .

.

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение.

.

Инвариантность формы дифференциала

Если – независимая переменная, то дифференциал имеет следующую форму:

.

Покажем, что эта форма сохраняется, когда – функция. Действительно, если , , то – сложная функция.

,

,

что и требовалось доказать.

Дифференциал сложной функции , для которой , имеет такой же вид , как если бы аргумент был независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.





Дата добавления: 2015-10-06; просмотров: 221 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. III. Основные полномочия и функции органов управления, подразделений
  2. III.1.J. ПРИЧИНЫ НАРУШЕНИЙ СЛУХА. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ НАРУШЕНИЙ СЛУХОВОЙ ФУНКЦИИ У ДЕТЕЙ
  3. IV. Изложение нового материала. 1. Строение и функции печени
  4. V. Внеаудитораня самостоятельная работа студентов. 1. Поджелудочную железу, расположение, функции
  5. VI. Раскройте скобки, употребив подходящее по смыслу производное слово. Запишите предложения, переведите их на русский язык
  6. А) Ведущая и подчиненная функции
  7. А. Индивидуальные задания студентам для устного ответа у доски (25 минут). а) Мост – строение, функции
  8. А. Коррекция осмысления
  9. А. Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин
  10. А11. Суть прогностической функции науки состоит в том, чтобы
  11. АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ПСИХОФИЗИОЛОГИИ
  12. Алкоголизммен бірлескен шизофрениямен науќастарда пайда болѓан атипті алкогольді фантастикалыќ делирий жєне онейроидтыњ дифференциальді диагностикасы


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.003 с.