Замена функции ее дифференциалом дает возможность получить приближенные формулы. Эти формулы можно уточнить, используя дифференциалы высших порядков.
Рассмотрим многочлен
. (1)
Его можно разложить по степеням. Коэффициенты можно найти, положив 
, 
. Продифференцируем
, , 
.
, 
,
,
…,
.
Следовательно, 
. Тогда
. (2)
Если вместо 
взять 
произвольно, то (2) уже не будет справедлива, но если обозначить отличие через 
(остаточный член), то можно написать
. (3)
Это и есть формула Тейлора. При 
имеет по крайней мере 
-й порядок малости по сравнению с 
, то есть более высокий порядок, чем последний из выписанных «точных» членов в формуле (3).
Формула (3) дает возможность заменить функцию 
многочленом 
с соответствующей степенью точности, равной значению 
.
.
Форма Лагранжа для остаточного члена
, (4)
, 
.
Если 
, то
– (5)
формула Маклорена.
. (6)
Формула (6) называется формулой Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано.
