Если функция 
непрерывна на сегменте 
, дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах сегмента обращается в нуль 
, то ее производная 
обращается в нуль хотя бы в одной внутренней точке с этого сегмента.
Доказательство. Так как непрерывна на сегменте, следовательно, она достигает на этом сегменте своего наибольшего значения 
и наименьшего значения 
(свойства непрерывных функций).
Если 
, то 
на . Тогда 
в любой точке .
Пусть 
, то одно из этих значений, например, 
. Тогда наибольшее значение достигается в точке 
: 
. Следовательно, 
, то есть 
, так как . Тогда по теореме Ферма 
.
Если 
пересекает ось 
в точке 
и 
, то между 
и 
существует точка , 
, в которой касательная параллельна оси (рис. 7).
|
| Рисунок 7 – |
Пример. На 
задана функция 
. Проверить выполнение теоремы Ролля.
Решение. Функция на удовлетворяет условиям теоремы Ролля, она непрерывна и дифференцируема на и равна нулю 
.
,
, 
.
Замечание. Если не выполнено условие дифференцируемости во внутренних точках , то утверждение Ролля может быть неверным.
Пример. 
непрерывна 
. 
, однако, 
внутри данного сегмента. Это потому что в точке 
не существует. Нет касательной, параллельной оси 
.
