Производные некоторых элементарных функций

1 Пусть . Так как сохраняет постоянное значение на всей числовой оси, то в произвольно выбранной точке любому приращению переменной соответствует приращение функции .

,

то есть

.

2 Пусть , где – натуральный показатель, – произвольная точка. Придадим приращение , тогда функция получит приращение :

.

,

следовательно,

.

3 Пусть задана показательная функция .

,

,

,

.

При , тогда имеем

,

.

4 Производная логарифмической функции .

Возьмем любое значение из области определения и дадим ему приращение , тогда

.

,

,

здесь – и при .

Следовательно,

,

то есть

или

,

,

.

 

5 Производная и .

Пусть – приращение произвольно выбранного значения аргумента функции .

,

,

.

Аналогично .

 

6 Пусть задана функция .

, .

 

7 Производная обратных тригонометрических функций

Пусть (рис. 3).

Рисунок 3 – График функции

Рассмотрим обратную функцию . Эта функция в интервале монотонна. Её производная не равна нулю на этом интервале. Следовательно, , но . Так как в не равен нулю, следовательно, , то есть

.

Аналогично найдем . По определению функция должна удовлетворять условию , при этом монотонна.

,

следовательно,

.

Но . Тогда

или

;

(рис. 4);

.

Рисунок 4 – График функции

 

8 Производные гиперболических функций

Пусть , то

,

;

;

,

то есть

;

.

 

9 Производная степенной функции с любым показателем

Пусть , где – натуральное число.

.

Рассмотрим случай, когда .

–

это сложная функция , ее производная находится

.

Так как

,

то

.

Справедливо и для .

 

Сводная таблица формул дифференцирования

1. , где – постоянная.

2. .

3. . 3^’. .

4. . 4^’. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .