Основные правила дифференцирования

Теорема 1. Если функция и дифференцируема в данной точке , то в этой же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных от слагаемых:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию .

,

.

Следовательно,

тогда

,

то есть , что и требовалось доказать.

Замечание. Теорема 1 справедлива для любого числа слагаемых.

Теорема 2. Если функции и дифференцируема в данной точке , то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная находится по следующей формуле:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию , если получит приращение , то функции , и будут иметь соответственно приращения , и , причем

,

так как при фиксированном и постоянны, то их можно вынести за знак предела

, , .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.