Дифференцируемость функций

Определение 1. Если имеет производную в точку , то есть если существует

,

при данном функция дифференцируема.

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в интервале , если она дифференцируема в любой точке интервала (или отрезка).

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Пусть получает в точке приращение , соответственно получает приращение

;

,

следовательно, функция в точке непрерывна.

Обратная теорема неверна, существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми.

Функция не имеет производной в точке

.

Справа от нуля , следовательно,

.

Слева от нуля , следовательно,

;

,

Следовательно, при отношение предела не имеет, то есть в точке не существует.

Пример. Функция непрерывна на () и при . Показать, что функция при не имеет производной.

Решение. В самом деле

,

следовательно,

,

тогда

.

Итак, в точке производной не существует (касательная к графику функции в точке совпадет с осью ).