Розв’язання

Для правої гілки гіперболи фокальні радіуси визначаються за формулами

 

.

 

Отже, за умовою задачі маємо рівняння

 

,

звідки

.

 

З канонічного рівняння гіперболи маємо, що , тоді і . Тобто .

Ординату шуканої точки знайдемо з рівняння гіперболи:

 

.

 

Таким чином, умові задачі задовольняють дві точки: .

 

Задачі для самостійної роботи

 

1. Гіпербола, симетрична відносно осей координат, проходить через точки . Записати її канонічне рівняння та побудувати гіперболу.

2. Скласти канонічне рівняння, побудувати параболу та її фокус, якщо відомо рівняння директриси: .

3. На гіперболі взято точку з ординатою, рівною 1. Знайти відстані від цієї точки до фокусів.

4. Еліпс, симетричний відносно осей координат, проходить через точку та має ексцентриситет . Записати його канонічне рівняння.

5. Знайти рівняння і побудувати гіперболу, фокуси якої розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо відстань між її директрисами дорівнює , а ексцентриситет .

6. Кут між асимптотами гіперболи дорівнює . Обчислити її ексцентриситет.

7. Ордината точки на параболі дорівнює 5. Знайти відстань від цієї точки до фокуса. Побудувати параболу, її фокус і директрису.

8. На параболі знайти точку, відстань до якої від директриси дорівнює 4.

9. Скласти рівняння і побудувати еліпс, симетричний відносно осей координат, якщо йому належить точка і відстань між фокусами дорівнює 8.

10. Скласти рівняння і побудувати гіперболу, якщо її ексцентриситет , а фокуси співпадають з фокусами еліпса .

 

Питання для повторення

 

1) Еліпс. Означення, канонічне рівняння та дослідження форми.

2) Гіпербола. Означення, канонічне рівняння та дослідження форми.

3) Парабола. Означення, канонічне рівняння та дослідження форми.