Модель многомерного объекта

Предположим, что технологический процесс можно описать математической моделью вида

y=b₀+b₁×x₁+…+b_n×x_n+b₁₂×x₁×x₂+…+b_n-1,n×x_n-1×x_n, (25.4)

где y – выходной параметр процесса; b₀,b₁, …,b_n-1,n –искомые неизвестные коэффициенты процесса; x₁,…,x_n – входные параметры процесса. Соотношения такого вида называются уравнениями регрессии.

Например, для процесса (рис. 25.2), имеющего три входных параметра (фактора) уравнение (25.4) примет вид:

y=b₀+b₁× x₁+b₂× x₂+b₃× x₃+b₁₂×x₁× x₂+b₁₃× x₁× x₃+b₂₃× x₂× x₃ (25.5)

Чтобы определить коэффициенты математической модели процесса необходимо провести эксперимент по соответствующему плану, например, по плану полного факторного эксперимента. Количество опытов в эксперименте определяется по формуле N=2ⁿ, где n – количество факторов. Входные воздействия принимают минимальные и максимальные значения. Для упрощения вычислений нужно перейти от физических переменных x₁,… x_n к кодированным по формуле:

z_i = , i=1,2,3 (25.6)

Здесь x_i0 – значение фактора на базовом (нулевом) уровне, равное среднему значению между минимальным и максимальным значениями; ∆x_i – интервал варьирования по данному фактору.

В случае трех входных параметров план проведения эксперимента имеет вид, представленный на рис. 25.3. Значение –1 соответствует минимальному значению входного параметра, +1 соответствует максимальному значению входного параметра.

В соответствии с методом наименьших квадратов производится вычисление коэффициентов:

, , , , , , , i=1,2,…,N (25.7)

Коэффициент регрессии b (b₀, b₁, … и т.д.) считается значимым, если выполняется условие

, , (25.8)

где Sb – среднеквадратичная ошибка в определении коэффициентов регрессии; t_Т – табличное значение критерия Стьюдента, которое выбирается для числа степеней свободы f1=m-1.

Для расчета дисперсии воспроизводимости нужно выполнить дополнительно m опытов (m<N) по любой строчке плана, например, при значениях входных факторов на базовом уровне. В результате получаются дополнительные значения экспериментальных данных y_1д, y_1д, …,y_mд. Тогда

Sy²= , yoc= , k=1,…,m

В табл.25.1 приведены значения критерия Стьюдента.

Таблица 25.1

В случае невыполнения условия (25.8) соответствующий коэффициент считается незначимым и приравнивается нулю.

Проверка адекватности (соответствия) полученного уравнения регрессии экспериментальным данным проводится с помощью критерия Фишера. Для этого вычисляются

, F= ,

где – оценка дисперсии адекватности; B – число значимых коэффициентов уравнения регрессии; yэ_j, yp_j – экспериментальное и рассчитанное по уравнению (25.5) значение y в j -ом опыте.

Определяется также табличное значение критерия Фишера F_Т из таблицы по числу степеней свободы f1 и числу степеней свободы f2=N-B.

Если F<F_Т, то уравнение регрессии рассматривается как модель исследуемого процесса.

В табл. 25.2 приведены коэффициенты критерия Фишера.

Таблица 25.2

Если полученное уравнение не адекватно процессу, то нужно перейти к более сложному виду математической модели, вновь провести опыты и обработать их результаты. Если уравнение адекватно процессу, то нужно от кодированных переменных перейти к физическим по формуле (25.6).