|
xy
Рис. 25.1 − Одномерный объект
Требуется получить эмпирическую формулу, описывающую зависимость y от x. Решение такой задачи состоит из двух этапов.
На первом этапе выбирается общий вид формулы, исходя из теоретических представлений о характере изучаемого процесса. Это может быть, например, полином m -степени:
y=a0+a1×x+a2×x2+…+am×xm.
Формула может содержать тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические функции и т.п.
На втором этапе определяются значения параметров a0,a1,a2,…,am эмпирической формулы f(x,a0,a1,a2,…am), которые обеспечивали бы соответствие этой формулы экспериментальным данным.
В соответствии с методом наименьших квадратов параметры a0,a1,a2,…,am выбираются так, чтобы была минимальной сумма квадратов:
(25.1)
Чтобы найти нужные параметры, следует взять частные производные от правой части (25.1) по a0,a1,a2,…,am и приравнять их нулю. Полученную систему уравнений можно решить одним из известных методов.
Пример. Пусть требуется определить параметры a0,a1,a2 формулы
y=a0+a1×x+a2×x2 (25.2)
Выражение (25.1) будет тогда иметь вид:
Далее берутся частные производные и приравниваются нулю:
Отсюда
(25.3)
Решив систему (25.3) можно определить искомые величины a0, a1, a2.
Алгоритм метода наименьших квадратов для эмпирической формулы (25.2)
1. Ввод количества опытов n, значений x1, x2,…xn, y1, y2,…yn.
2. Определение коэффициентов системы уравнений (21.3):
a1,2= 
, a1,3= 
, a2,3= 
, a3,3= 
,
b1= 
, b2= 
, b3= 
;
a1,1=n, a2,1= a1,2, a2,2= a1,3, a3,1= a1,3, a3,2= a2,3.
3. Решение системы (25.3) A×Z=B, где A – матрица коэффициентов, B – вектор свободных членов системы, Z – вектор, в котором определяются корни z1=a0, z2=a1, z3=a2.
4. Вывод искомых коэффициентов a0, a1, a2.
5. Определение и вывод разностей d1, d2,…dn.
