End Function

23.3. Численные методы решения уравнений

Пусть имеется уравнение:

f(x)=0 (23.5)

Решение уравнения численными методами состоит из двух этапов: 1) отделение корней, т.е. нахождение таких отрезков [a,b] на оси OX, внутри которых имеется один корень; 2) вычисление корней с заданной точностью.

Одним из способов отделения корней является графический способ. Рассмотрим его на примере.

Пусть требуется отделить корни уравнения 3-x-ln(x)=0.

Перепишем исходное уравнение в виде 3-x=ln(x) и построим графики функций y=3-x и y=ln(x) (рис. 23.3). Из чертежа видно, что графики пересекаются в единствен-ной точке, абсцисса которой находится внутри отрезка [1,3]. Знаки функции на концах отрезка разные: f(1)=3-1-ln(1)>0, f(3)=3-3-ln(3)<0. Значит, данное уравнение имеет один действительный корень, лежащий внутри отрезка [1,3], то есть а=1, в=3.

Можно также отделить корни, построив график функции (23.5) в приложении Mathcad или в приложении Excel.

После того, как определен отрезок (или отрезки), внутри которого имеется один корень, можно вычислить его с заданной точностью одним из методов.

Метод касательных. При использовании данного метода для вычисления корня уравнения необходимо определить начальное приближение корня. Оно определяется соотношением x₀=a, если знаки f(a) и f¢¢(a) совпадают и соотношением x₀=b, если знаки f(b) и f¢¢(b) совпадают. Последовательные приближения корня определяются по формуле:

x_n₊₁=x_n_─ , n=0,1,2,… (23.6)

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет выполнено условие | x_n₊₁- x_n | <= e, где e – требуемая точность вычисления корня. Рассмотрим алгоритм метода касательных.

1. Ввод значений a, b, e.

2. Вычисление начального приближения корня x_n₁=a, если

f(a) ×f¢¢(a)> 0 или x_n₁=b в противном случае.

3. Вычисление x_n=x_n₁.

4. Определение очередного приближения корня по формуле x_n₁=x_n_─

5. Если | x_n₁- x_n | > e, то переход к пункту 3. В противном случае – переход к следующему пункту.

6. Вывод значения корня x_n₁.

Здесь f(x) – это левая часть уравнения (23.5), а f¢(x) и f¢¢(x) - выражения, представляющие собой производные.

Метод дихотомии (деления отрезка пополам). При использовании метода дихотомии отрезок [a,b] делится пополам. Из полученных двух отрезков для дальнейших вычислений выбирается тот, на концах которого функция f(x) имеет разные знаки. Выбранный отрезок вновь делится пополам. Вычисления продолжаются до тех пор, пока величина последнего из полученных отрезков не станет меньше 2e.

Алгоритм метода дихотомии.

1. Ввод значений a, b, e.

2. Вычисление .

3. Если f(x)=0, то переход к пункту 6, иначе – переход к следующему пункту.

4. Если f(x)×f(a)<=0 то b=x, иначе– a=x.

5. Если |a-b|>2e, то переход к пункту 2, иначе – переход к следующему пункту.

6. Вывод значения корня x.