Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений n -го порядка имеет вид:

(24.1)

или в матричном виде:

AX=B, (24.2)

где , ,

Корнями системы являются такие значения x₁, x₂,…x_n, подстановка которых в (24.1) превращает уравнения системы в тождества.

Метод Гаусса.Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных x₁, x₂,…x_n путем преобразования системы (24.1) таким образом, чтобы под главной диагональю располагались нули. В полученной системе определяется корень x_n из последнего уравнения, корень x_n-1 – из предпоследнего и т.д.

Алгоритм метода Гаусса.

1. Ввод числа n, обозначающего порядок системы, матрицы A и вектора B.

2. Выполнение пунктов данного алгоритма с 3-го по 7, с изменением номера вычитаемого уравнения k с 1 до n-1.

3. Выполнение пунктов с 4-го по 7, с изменением номера уравнения i, из которого производится вычитание, с k+1 до n.

4. Вычисление c=a_ik/a_kk, a_ik=0.

5. Выполнение пункта 6, с изменением номера столбца j c k+1 до n.

6. Вычисление a_ij=a_ij-c×a_kj.

7. Вычисление b_i=b_i-c×b_k.

8. Определение корня x_n=b_n/a_nn

9. Выполнение пунктов с 10 по 13, с изменением номера уравнения i с n-1 до 1.

10. Подготовка переменной для вычисления суммы s=0.

11. Выполнение пункта 12, с изменением номера столбца j с i+1 до n.

12. Вычисление s=s+a_ij×x_j.

13. Определение x_i=(b_i-s)/a_ii.

14. Вывод значений x₁,x₂,…,x_n.

В данном алгоритме пункты со 2 по 7 обеспечивают преобразование матрицы A к треугольному виду (прямой ход метода), а выполнение пунктов с 8 по 13 позволяет определить корни системы линейных уравнений (обратный ход метода).

Матричный метод. Зная матрицу A можно вычислить обратную матрицу A^-1, затем умножить ее на систему (24.2): A^-1×A×X=A^-1×B. Получится: X=A^-1×B. Элементы вектора X и являются корнями системы линейных уравнений.