Теорема Абеля

Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x₁, то он сходится и притом абсолютно для всех .

Свойства степенных рядов

1. Сумма S(x) степенного ряда

Является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R)

2. Степенные ряды ,имеющие радиусы сходимости соотв-о , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядом не меньше чем меньшее из чисел

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда (пиши вместо скобки просто x)

При -R выполняется равенство

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда

(пиши вместо скобки просто x) при -R