Для частицы, описываемой гамильтонианом 
, волновая функция 
находится путем решения волнового уравнения Шредингера, которое получил Шрёдингер в 1926 г.
Правило соответствия. При переходе от классической к квантовой теории физическим величинам сопоставляются эрмитовые операторы. При этом соотношения между динамическими характеристиками сохраняются. Это обеспечивает совпадение результатов квантовой теории при больших значениях квантовых чисел с результатами классической теории.
Оператор Гамильтона. Гамильтониан частицы в классической теории является суммой кинетической и потенциальной энергий, выраженных через импульсы и координаты:
.
Переходим к операторам
,
,
,
где
– оператор градиента,
– оператор Лапласа.
Получаем оператор полной энергии, или оператор Гамильтона
. (2.53)
Волновое уравнение Шредингера. Из (2.52)
и (2.53) получаем для уравнение
. (2.54)
Стационарное уравнение Шредингера. Если потенциальная энергия не зависит от времени
,
то состояние системы стационарное, полная энергия E сохраняется и является параметром. В уравнении (2.54) слагаемые с координатами и временем разделены при , поэтому решение является произведением независимых функций от разных аргументов
. (2.55)
Подставляем (2.55) в (2.54), умножаем уравнение слева на 
, переменные разделяются
.
Левая и правая стороны зависят от разных переменных, поэтому обе стороны равны постоянной, которую обозначим Е и далее установим ее физический смысл.
В уравнении
разделяем переменные
,
интегрируем и находим
. (2.56)
Для 
получаем стационарное уравнение Шредингера
. (2.57)
Уравнение (2.57) с учетом 
является уравнением на собственную функцию оператора Гамильтона
, (2.58)
следовательно, Е – полная энергия. Если система одномерная, то (2.57) для 
получает вид
. (2.59)
Уравнения (2.57) и (2.59) позволяют найти допустимые значения энергии E и соответствующие комплексные нормированные функции состояний 
, если заданы граничные условия.
